1 – Puntualidad y probabilidad condicionada
Madrid · 2026 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
El \(85\,\%\) de los alumnos de un instituto viven en la misma localidad en la que se sitúa el centro educativo y el resto en pueblos de alrededor. El \(75\,\%\) de los alumnos que acuden al instituto desde fuera de la localidad llegan puntuales a clase por la mañana y el \(5\,\%\) de los alumnos que viven en la misma localidad que el centro llegan tarde a primera hora.
- Calcule el porcentaje de alumnos del instituto que llegan tarde a primera hora. (1 punto)
- Se elige un alumno del centro al azar. Halle la probabilidad de que sea de un pueblo de alrededor si se sabe que ha llegado puntual a clase por la mañana. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Separamos al alumnado en dos grupos:
- \(L\): vive en la misma localidad.
- \(F\): vive fuera de la localidad.
Además, usamos \(T\) para “llega tarde” y \(P\) para “llega puntual”.
Del enunciado obtenemos:
\[
P(L)=0{,}85,\qquad P(F)=0{,}15
\]
\[
P(P\mid F)=0{,}75,\qquad P(T\mid L)=0{,}05
\]
Hay que completar las probabilidades contrarias y organizar los datos en un árbol o una tabla.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
- Suceso contrario.
- Teorema de la probabilidad total.
- Probabilidad condicionada.
- Regla del producto.
Para calcular una probabilidad condicionada usamos \(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\).
🟢 Estrategia de resolución
Primero calculamos las probabilidades que faltan:
\[
P(T\mid F)=1-0{,}75,\qquad P(P\mid L)=1-0{,}05
\]
En el apartado a) aplicamos la probabilidad total al suceso “llegar tarde”.
En el apartado b) calculamos \(P(F\mid P)\): el numerador es \(P(F\cap P)\) y el denominador es la probabilidad total de llegar puntual.
🟣 Resolución paso a paso
a) Porcentaje que llega tarde
Las probabilidades complementarias son:
\[
P(T\mid F)=1-0{,}75=0{,}25
\]
\[
P(P\mid L)=1-0{,}05=0{,}95
\]
Por el teorema de la probabilidad total:
\[
\begin{aligned}
P(T)&=P(L)P(T\mid L)+P(F)P(T\mid F)\\
&=0{,}85\cdot0{,}05+0{,}15\cdot0{,}25\\
&=0{,}0425+0{,}0375=0{,}08.
\end{aligned}
\]
Respuesta: llega tarde el \(\boxed{8\,\%}\) del alumnado.
b) Probabilidad de vivir fuera sabiendo que llega puntual
La probabilidad de llegar puntual es:
\[
P(P)=1-P(T)=1-0{,}08=0{,}92.
\]
La probabilidad de vivir fuera y llegar puntual es:
\[
P(F\cap P)=P(F)P(P\mid F)=0{,}15\cdot0{,}75=0{,}1125.
\]
Por tanto:
\[
P(F\mid P)=\frac{P(F\cap P)}{P(P)}
=\frac{0{,}1125}{0{,}92}
=\frac{45}{368}
\approx0{,}1223.
\]
Respuesta: la probabilidad pedida es \(\boxed{\dfrac{45}{368}\approx 12{,}23\,\%}\).
Qué debes aprender de este problema
- Un porcentaje condicionado siempre se refiere a un grupo concreto.
- La probabilidad total combina las distintas vías que conducen al mismo suceso.
- En una probabilidad condicionada, el denominador es la probabilidad de la información conocida.
- Un árbol de probabilidades ayuda a no confundir \(P(F\mid P)\) con \(P(P\mid F)\).