B1 – Discusión de un sistema rectangular con parámetro
Castilla y León · 2017 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Discuta, según los valores del parámetro \(m\), el sistema
\[
\begin{cases}
mx+y+z=1,\\
x+y+2z=1.
\end{cases}
\] - Resuélvalo para \(m=1\).
Puntuación máxima: 2 puntos.
🟠 Comprensión del enunciado
Hay dos ecuaciones y tres incógnitas. No existe determinante de la matriz de coeficientes; debemos estudiar sus rangos mediante menores.
🔵 Conceptos matemáticos
- Sistemas con más incógnitas que ecuaciones.
- Rango mediante menores.
- Teorema de Rouché-Frobenius.
- Método de Gauss y parámetros libres.
🟢 Estrategia de resolución
Buscamos un menor de orden \(2\) que no dependa de \(m\). Así determinamos los rangos para cualquier valor del parámetro y luego resolvemos por Gauss el caso \(m=1\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Discusión según \(m\)
La matriz de coeficientes y la ampliada son:
\[
A=
\begin{pmatrix}
m&1&1\\
1&1&2
\end{pmatrix},
\qquad
A^*=
\left(
\begin{array}{ccc|c}
m&1&1&1\\
1&1&2&1
\end{array}
\right).
\]
Tomamos el menor formado por las columnas segunda y tercera:
\[
\begin{vmatrix}
1&1\\
1&2
\end{vmatrix}
=2-1=1\neq0.
\]
Este menor no depende de \(m\), por lo que:
\[
\operatorname{rg}(A)=2
\quad\text{para todo }m\in\mathbb R.
\]
La matriz ampliada tiene solo dos filas, de modo que su rango no puede superar \(2\). Como contiene a \(A\),
\[
\operatorname{rg}(A^*)=2.
\]
Por tanto:
\[
\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2\lt3.
\]
\[
\boxed{\text{El sistema es compatible indeterminado para todo }m\in\mathbb R.}
\]
b) Resolución para \(m=1\)
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&1&1&1\\
1&1&2&1
\end{array}
\right)
\xrightarrow{F_2\leftarrow F_2-F_1}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&1&1&1\\
0&0&1&0
\end{array}
\right).
\]
La segunda fila da \(z=0\). Sustituyendo en la primera:
\[
x+y=1.
\]
Tomamos \(x=t\), con \(t\in\mathbb R\). Entonces:
\[
x=t,\qquad y=1-t,\qquad z=0.
\]
\[
\boxed{(x,y,z)=(t,1-t,0),\quad t\in\mathbb R.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- En una matriz no cuadrada la discusión se realiza con rangos, no con un determinante global.
- Un menor constante no nulo puede resolver toda la discusión del parámetro.
- Si el rango común es menor que el número de incógnitas, aparecen parámetros libres.