B2 – Recta perpendicular a un plano y perpendicularidad de rectas
Castilla y León · 2017 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Calcule la ecuación de la recta que pasa por \(P(2,3,4)\) y es perpendicular al plano
\[
\pi\equiv x+y+2z+4=0.
\] - Calcule \(a\) para que las rectas
\[
r\equiv x-1=y-2=\frac{z-2}{2},
\qquad
s\equiv\frac{x-1}{a}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-2}{3}
\]
sean perpendiculares.
Puntuación máxima: 2 puntos.
🟠 Comprensión del enunciado
Una recta perpendicular a un plano tiene como director un vector paralelo al normal del plano. Dos rectas son perpendiculares cuando el producto escalar de sus directores es cero.
🔵 Conceptos matemáticos
- Vector normal de un plano.
- Ecuación paramétrica de una recta.
- Vectores directores.
- Producto escalar y perpendicularidad.
🟢 Estrategia de resolución
En el primer apartado usamos directamente el normal de \(\pi\). En el segundo extraemos los directores de las ecuaciones continuas e igualamos su producto escalar a cero.
🟣 Resolución paso a paso
a) Recta perpendicular al plano
Un vector normal del plano es:
\[
\vec n_\pi=(1,1,2).
\]
La recta perpendicular al plano tiene un vector director paralelo a \(\vec n_\pi\). Como debe pasar por \(P(2,3,4)\):
\[
\boxed{r:\ (x,y,z)=(2,3,4)+\lambda(1,1,2),\quad\lambda\in\mathbb R.}
\]
En forma continua:
\[
\boxed{x-2=y-3=\frac{z-4}{2}.}
\]
b) Valor de \(a\)
De las ecuaciones continuas obtenemos los vectores directores:
\[
\vec v_r=(1,1,2),
\qquad
\vec v_s=(a,2,3).
\]
Para que las rectas sean perpendiculares:
\[
\vec v_r\cdot\vec v_s=0.
\]
\[
(1,1,2)\cdot(a,2,3)
=a+2+6
=a+8=0.
\]
\[
\boxed{a=-8.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- El vector normal de un plano sirve como director de cualquier recta perpendicular a él.
- Las fracciones de una ecuación continua muestran las componentes del vector director.
- La perpendicularidad de dos direcciones se traduce en producto escalar nulo.