B3 – Estudio completo de una función racional
Castilla y León · 2017 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Considere la función
\[
f(x)=\frac{x^2+1}{x^2+2}.
\]
Calcule su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Esboce su gráfica.
Puntuación máxima: 2 puntos.
🟠 Comprensión del enunciado
El denominador nunca se anula. El estudio de las asíntotas se reduce al comportamiento en el infinito y la monotonía se obtiene del signo de una derivada muy sencilla.
🔵 Conceptos matemáticos
- Dominio de una función racional.
- Asíntotas horizontales y verticales.
- Monotonía y extremos.
- Simetría de funciones pares.
🟢 Estrategia de resolución
Estudiamos el denominador, calculamos el límite en ambos infinitos y derivamos. Con la tabla de signos y la paridad describimos el esbozo.
🟣 Resolución paso a paso
Dominio
El denominador verifica:
\[
x^2+2\gt0
\quad\text{para todo }x\in\mathbb R.
\]
Por tanto:
\[
\boxed{\operatorname{Dom}(f)=\mathbb R.}
\]
Asíntotas
No hay asíntotas verticales porque el denominador no se anula.
Como numerador y denominador tienen el mismo grado:
\[
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2+1}{x^2+2}=1.
\]
Así, existe una asíntota horizontal:
\[
\boxed{y=1.}
\]
No puede haber asíntota oblicua porque ya existe una horizontal en ambos infinitos.
Crecimiento y extremos
Derivamos mediante la regla del cociente:
\[
\begin{aligned}
f'(x)
&=\frac{2x(x^2+2)-(x^2+1)2x}{(x^2+2)^2}\\
&=\frac{2x[(x^2+2)-(x^2+1)]}{(x^2+2)^2}\\
&=\frac{2x}{(x^2+2)^2}.
\end{aligned}
\]
El denominador es siempre positivo, de modo que el signo depende de \(x\):
\[
\begin{array}{c|ccc}
x&(-\infty,0)&0&(0,+\infty)\\ \hline
f'(x)&-&0&+
\end{array}
\]
- \(f\) decrece en \((-\infty,0)\).
- \(f\) crece en \((0,+\infty)\).
En \(x=0\) pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo y absoluto:
\[
f(0)=\frac12.
\]
\[
\boxed{\text{Mínimo en }\left(0,\frac12\right).}
\]
No hay máximos relativos.
Esbozo
La función es par, pues \(f(-x)=f(x)\). Su gráfica es simétrica respecto del eje \(Y\), pasa por \((0,1/2)\) y se aproxima a \(y=1\) por debajo cuando \(x\to\pm\infty\). Además:
\[
f(x)=1-\frac1{x^2+2}\lt1.
\]
Representación gráfica
Qué debes aprender de este problema
- Si el denominador no se anula, una función racional es continua en todo \(\mathbb R\).
- La igualdad de grados produce una asíntota horizontal dada por el cociente de coeficientes principales.
- Reescribir \(f(x)=1-1/(x^2+2)\) aclara que la gráfica se mantiene por debajo de la asíntota.