B4 – Límite por L’Hôpital e integral de un logaritmo
Castilla y León · 2017 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Calcule
\[
\lim_{x\to0}\frac{xe^x-\sin x}{x^2}.
\] - Calcule
\[
\int\ln x\,dx.
\]
Puntuación máxima: 2 puntos.
🟠 Comprensión del enunciado
El límite sigue siendo indeterminado después de una primera aplicación de L’Hôpital. La integral se resuelve por partes tomando el logaritmo como el factor que se deriva.
🔵 Conceptos matemáticos
- Regla de L’Hôpital aplicada dos veces.
- Regla del producto y derivadas trigonométricas.
- Integración por partes.
- Primitiva de \(\ln x\).
🟢 Estrategia de resolución
Comprobamos la indeterminación tras cada derivación y aplicamos L’Hôpital una segunda vez. Para la integral desarrollamos por completo la elección de \(u\), \(dv\), \(du\) y \(v\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Límite
Al sustituir \(x=0\):
\[
\frac{0\cdot e^0-\sin0}{0^2}=\frac00.
\]
Aplicamos L’Hôpital por primera vez:
\[
\begin{aligned}
\lim_{x\to0}\frac{xe^x-\sin x}{x^2}
&=\lim_{x\to0}
\frac{e^x+xe^x-\cos x}{2x}.
\end{aligned}
\]
Al sustituir de nuevo aparece \(0/0\):
\[
\frac{1+0-1}{0}=\frac00.
\]
Aplicamos L’Hôpital una segunda vez. Derivamos con detalle:
\[
\frac{d}{dx}\left(e^x+xe^x-\cos x\right)
=e^x+(e^x+xe^x)+\sin x
=2e^x+xe^x+\sin x,
\]
\[
\frac{d}{dx}(2x)=2.
\]
Por tanto:
\[
\begin{aligned}
\lim_{x\to0}\frac{xe^x-\sin x}{x^2}
&=\lim_{x\to0}\frac{2e^x+xe^x+\sin x}{2}\\
&=\frac{2}{2}=1.
\end{aligned}
\]
\[
\boxed{\lim_{x\to0}\frac{xe^x-\sin x}{x^2}=1.}
\]
b) Primitiva de \(\ln x\)
Aplicamos integración por partes:
\[
\int u\,dv=uv-\int v\,du.
\]
Elegimos:
\[
u=\ln x
\quad\Longrightarrow\quad
du=\frac1x\,dx,
\]
\[
dv=dx
\quad\Longrightarrow\quad
v=x.
\]
Sustituimos en la fórmula:
\[
\begin{aligned}
\int\ln x\,dx
&=x\ln x-\int x\cdot\frac1x\,dx\\
&=x\ln x-\int1\,dx\\
&=x\ln x-x+C.
\end{aligned}
\]
\[
\boxed{\int\ln x\,dx=x\ln x-x+C,\qquad x\gt0.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- L’Hôpital puede aplicarse de nuevo si tras la primera derivación permanece una indeterminación válida.
- Al derivar \(xe^x\) hay que usar la regla del producto.
- Para integrar \(\ln x\), se toma \(dv=dx\) y se desarrolla completa la fórmula por partes.