D33 – Deriva \(y=\arctan\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\)

Derivación paso a paso

Tomamos como función interior:

\[
u=\dfrac{1+x}{1-x}
\]

Derivamos \(u\) mediante la regla del cociente:

\[
u'=\dfrac{1(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}
\]
\[
u'=\dfrac{2}{(1-x)^2}
\]

Aplicamos la derivada del arcotangente:

\[
y'=\dfrac{u'}{1+u^2}
\]

Sustituimos:

\[
y'=\dfrac{\dfrac{2}{(1-x)^2}}{1+\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)^2}
\]

Reducimos el denominador a común denominador:

\[
y'=\dfrac{2}{(1-x)^2+(1+x)^2}
=\dfrac{2}{2+2x^2}
=\dfrac{1}{1+x^2}
\]

Resultado final:

\[
\boxed{y'=\dfrac1{1+x^2}}
\]