PropiaGeometríaIdentidades trigonométricasFácil
Demuestra: \(\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2+\left(\sin\alpha-\cos\alpha\right)^2=2\)
Matemáticas 1 · 1º Bachillerato
Ficha del problema
Nivel
1º Bachillerato
Asignatura
Matemáticas 1
Bloque
Geometría
Tema
Identidades trigonométricas
Fuente
Propia
Dificultad
Fácil
Tipo
Cálculo directo
Enunciado
Demuestra la siguiente identidad:
\[
\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2+\left(\sin\alpha-\cos\alpha\right)^2=2
\]
🟣 Resolución paso a paso
Resolución paso a paso
Desarrollamos los dos cuadrados:
\[
\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2
=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha,
\]
\[
\left(\sin\alpha-\cos\alpha\right)^2
=\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha.
\]
Sumamos. Los términos dobles se anulan:
\[
2\sin^2\alpha+2\cos^2\alpha
=2\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)=2.
\]
Así,
\[
\boxed{\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2
+\left(\sin\alpha-\cos\alpha\right)^2=2}.
\]