A1 – Discusión de un sistema con parámetro
Castilla y León · 2019 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Se considera el sistema:
\[
\begin{pmatrix}
1&1&m\\
2&1&0\\
2&2&2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}4\\3\\6\end{pmatrix}.
\]
- Estudie la existencia y unicidad de soluciones según los valores del parámetro \(m\). (1 punto)
- Resuelva el sistema para \(m=2\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Hay tres ecuaciones, tres incógnitas y un parámetro en la matriz de coeficientes. Primero localizaremos los valores de \(m\) que anulan su determinante.
🔵 Conceptos matemáticos
- Determinante de una matriz dependiente de un parámetro.
- Teorema de Rouché-Frobenius.
- Sistemas compatibles determinados e incompatibles.
- Regla de Cramer.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos \(\det A\). Para el valor singular comparamos los rangos de la matriz de coeficientes y la ampliada. Después sustituimos \(m=2\) y resolvemos.
🟣 Resolución paso a paso
a) Discusión según \(m\)
La matriz de coeficientes es:
\[
A=\begin{pmatrix}
1&1&m\\
2&1&0\\
2&2&2
\end{pmatrix}.
\]
Calculamos su determinante:
\[
\det A=
\begin{vmatrix}
1&1&m\\
2&1&0\\
2&2&2
\end{vmatrix}
=2+4m-4-2m=2(m-1).
\]
Si \(m\neq1\), entonces \(\det A\neq0\). Por tanto:
\[
\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3,
\]
y el sistema es compatible determinado: posee una única solución.
Estudio del valor \(m=1\)
Para \(m=1\), el determinante se anula. En \(A\) existe el menor:
\[
\begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}=-1\neq0,
\]
de modo que \(\operatorname{rg}(A)=2\). En la matriz ampliada encontramos:
\[
\begin{vmatrix}
1&1&4\\
2&1&3\\
2&2&6
\end{vmatrix}=2\neq0.
\]
Así, \(\operatorname{rg}(A^*)=3\). Como los rangos son distintos, el sistema es incompatible.
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
m\neq1:&\text{una única solución},\\
m=1:&\text{ninguna solución}.
\end{array}}
\]
b) Resolución para \(m=2\)
El sistema queda:
\[
\begin{cases}
x+y+2z=4,\\
2x+y=3,\\
2x+2y+2z=6.
\end{cases}
\]
Dividimos la tercera ecuación entre \(2\):
\[
x+y+z=3.
\]
Restando esta ecuación de la primera obtenemos \(z=1\). Sustituyendo:
\[
x+y=2,\qquad 2x+y=3.
\]
Al restar ambas ecuaciones resulta \(x=1\), y entonces \(y=1\).
\[
\boxed{(x,y,z)=(1,1,1)}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- El determinante permite localizar los valores del parámetro que requieren un estudio especial.
- Cuando el determinante se anula hay que comparar los rangos.
- La solución obtenida debe comprobar las tres ecuaciones.