A2 – Plano por una recta y recta perpendicular a otras dos
Castilla y León · 2019 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Calcule la ecuación del plano \(\pi\) que contiene a la recta
\[
r\equiv\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{2}
\]
y pasa por \(A=(1,2,1)\). (1 punto) - Calcule la ecuación de la recta que pasa por \(B=(2,1,2)\) y es perpendicular a
\[
s_1\equiv\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2},
\qquad
s_2\equiv\frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z}{2}.
\]
(1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
En el primer apartado necesitamos dos direcciones contenidas en el plano. En el segundo, una dirección perpendicular a las dos rectas dadas.
🔵 Conceptos matemáticos
- Ecuación vectorial y continua de una recta.
- Producto vectorial.
- Vector normal de un plano.
- Rectas perpendiculares en el espacio.
🟢 Estrategia de resolución
Para el plano usamos el vector director de \(r\) y el vector que une un punto de \(r\) con \(A\). Para la recta pedida calculamos el producto vectorial de los directores de \(s_1\) y \(s_2\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Plano que contiene a \(r\) y pasa por \(A\)
La recta \(r\) pasa por \(P=(1,1,1)\) y tiene vector director:
\[
\vec v=(2,3,2).
\]
El punto \(A=(1,2,1)\) no pertenece a \(r\). El vector que une \(P\) con \(A\) es:
\[
\overrightarrow{PA}=A-P=(0,1,0).
\]
Ambos vectores están contenidos en el plano. Un vector normal se obtiene mediante su producto vectorial:
\[
\vec n=\vec v\times\overrightarrow{PA}
=
\begin{vmatrix}
\vec i&\vec j&\vec k\\
2&3&2\\
0&1&0
\end{vmatrix}
=(-2,0,2)\sim(-1,0,1).
\]
Usando el punto \(A\), la ecuación del plano es:
\[
-(x-1)+(z-1)=0
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{\pi\equiv -x+z=0}.
\]
b) Recta perpendicular a \(s_1\) y \(s_2\)
Podemos tomar como vectores directores:
\[
\vec v_1=(1,1,1),
\qquad
\vec v_2=(-1,3,2).
\]
La dirección buscada debe ser perpendicular a ambos vectores:
\[
\vec d=\vec v_1\times\vec v_2
=
\begin{vmatrix}
\vec i&\vec j&\vec k\\
1&1&1\\
-1&3&2
\end{vmatrix}
=(-1,-3,4).
\]
Como la recta debe pasar por \(B=(2,1,2)\):
\[
\boxed{(x,y,z)=(2,1,2)+\lambda(-1,-3,4),\qquad\lambda\in\mathbb R}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Dos vectores no paralelos determinan las direcciones de un plano.
- El producto vectorial proporciona un vector perpendicular a los dos factores.
- Una recta queda determinada por un punto y un vector director.