E2 – Potencia, traspuesta e invertibilidad de una matriz
Castilla y León · 2020 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sea la matriz:
\[
A=\begin{pmatrix}1&0\\m&n\end{pmatrix}.
\]
- Encuentre los valores de \(m\) y \(n\) para que se verifique \(A^2=A^t\), siendo \(A^t\) la traspuesta de \(A\). (1,2 puntos)
- ¿Para qué valores de \(m\) y \(n\) la matriz \(A\) no es invertible? (0,8 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
En el primer apartado hay que calcular dos matrices: el producto \(A^2=A\cdot A\) y la traspuesta \(A^t\).
Dos matrices son iguales cuando coinciden todos sus elementos situados en la misma posición.
En el segundo apartado basta estudiar cuándo se anula el determinante.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Producto de matrices.
- Matriz traspuesta.
- Igualdad de matrices.
- Determinante e invertibilidad.
Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos \(A^2\) y \(A^t\), igualamos sus cuatro entradas y resolvemos las condiciones obtenidas.
Después calculamos \(\det A\) sin imponer las condiciones del apartado anterior, porque el apartado b) pregunta por la matriz general.
🟣 Resolución paso a paso
a) Condición \(A^2=A^t\)
Calculamos el cuadrado de la matriz:
\[
A^2=
\begin{pmatrix}1&0\\m&n\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0\\m&n\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&0\\
m+mn&n^2
\end{pmatrix}.
\]
Su traspuesta es:
\[
A^t=\begin{pmatrix}1&m\\0&n\end{pmatrix}.
\]
Igualamos las entradas correspondientes:
\[
\begin{pmatrix}1&0\\m+mn&n^2\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}1&m\\0&n\end{pmatrix}.
\]
De la entrada superior derecha obtenemos:
\[
m=0.
\]
Con \(m=0\), la igualdad \(m+mn=0\) se cumple automáticamente. Para la última entrada:
\[
n^2=n
\Rightarrow
n(n-1)=0
\Rightarrow
n=0\quad\text{o}\quad n=1.
\]
Por tanto:
\[
\boxed{(m,n)=(0,0)\quad\text{o}\quad(m,n)=(0,1).}
\]
b) Valores para los que \(A\) no es invertible
Calculamos el determinante de la matriz general:
\[
\det A=
\begin{vmatrix}1&0\\m&n\end{vmatrix}
=n.
\]
La matriz no tiene inversa cuando su determinante es cero:
\[
n=0.
\]
Respuesta:
\[
\boxed{A\text{ no es invertible si }n=0,\text{ para cualquier }m\in\mathbb R.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- El cuadrado de una matriz es un producto matricial, no el cuadrado de cada entrada.
- La traspuesta intercambia filas por columnas.
- La igualdad de matrices se traduce en igualdades entre entradas.
- La invertibilidad se decide calculando el determinante.