E1 – Sistema homogéneo con parámetro
Castilla y León · 2020 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Se considera el sistema de ecuaciones lineales:
\[
\begin{cases}
x-y+az=0,\\
x-z=0,\\
2x+ay-2z=0.
\end{cases}
\]
- Estudie la existencia y el número de soluciones según los valores del parámetro real \(a\). (1,2 puntos)
- Resuélvalo, si es posible, para \(a=-1\). (0,8 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Es un sistema homogéneo: todos los términos independientes son cero.
Por tanto, siempre tiene al menos la solución trivial \((0,0,0)\) y nunca puede ser incompatible.
El determinante permitirá distinguir cuándo la solución trivial es la única y cuándo existen infinitas soluciones.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Sistemas homogéneos.
- Determinante de la matriz de coeficientes.
- Teorema de Rouché-Frobenius.
- Sistemas compatibles determinados e indeterminados.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes y estudiamos por separado los valores que lo anulan.
Para esos valores comprobamos que el rango es \(2\).
En el apartado b), sustituimos \(a=-1\) y elegimos una variable libre.
🟣 Resolución paso a paso
a) Discusión del sistema
La matriz de coeficientes es:
\[
A=\begin{pmatrix}
1&-1&a\\
1&0&-1\\
2&a&-2
\end{pmatrix}.
\]
Calculamos su determinante:
\[
\det A=
\begin{vmatrix}
1&-1&a\\
1&0&-1\\
2&a&-2
\end{vmatrix}
=a^2+a=a(a+1).
\]
El determinante se anula cuando:
\[
a(a+1)=0
\Rightarrow
a=0\quad\text{o}\quad a=-1.
\]
Si \(a\neq0,-1\), entonces \(\det A\neq0\), de modo que el sistema es compatible determinado. Al ser homogéneo, su única solución es:
\[
\boxed{x=y=z=0.}
\]
Para \(a=0\) o \(a=-1\), el determinante es cero. Sin embargo, el menor:
\[
\begin{vmatrix}1&-1\\1&0\end{vmatrix}=1\neq0
\]
demuestra que \(\operatorname{rg}(A)=2\). Como el sistema es homogéneo:
\[
\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3.
\]
En ambos casos el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
a\neq0,-1:&\text{SCD, única solución }(0,0,0),\\
a=0\text{ o }a=-1:&\text{SCI, infinitas soluciones}.
\end{array}}
\]
b) Resolución para \(a=-1\)
El sistema queda:
\[
\begin{cases}
x-y-z=0,\\
x-z=0,\\
2x-y-2z=0.
\end{cases}
\]
De la segunda ecuación:
\[
x=z.
\]
Sustituyendo en la primera:
\[
z-y-z=0
\Rightarrow
y=0.
\]
La tercera ecuación se verifica automáticamente. Tomamos \(z=t\):
Respuesta:
\[
\boxed{(x,y,z)=(t,0,t),\qquad t\in\mathbb R.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Un sistema homogéneo siempre es compatible.
- Si el determinante es no nulo, la única solución es la trivial.
- Cuando el rango es menor que el número de incógnitas aparecen variables libres.
- Los valores singulares del parámetro se estudian por separado.