E2 – Matriz inversa y ecuación matricial
Castilla y León · 2020 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sea la matriz:
\[
A=\begin{pmatrix}a+1&1\\a-3&a-3\end{pmatrix}.
\]
- Indique para qué valores de \(a\) existe \(A^{-1}\). (0,5 puntos)
- Si \(a=4\), \(B=\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}\) y \(C=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}\), encuentre \(X\) sabiendo que \(B+XA=C\). (1,5 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
La matriz \(A\) tiene inversa cuando su determinante es distinto de cero.
En la ecuación \(B+XA=C\), la incógnita está multiplicada por \(A\) a la derecha.
Para despejar \(X\), también debemos multiplicar por \(A^{-1}\) a la derecha.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Determinante e invertibilidad.
- Matriz inversa de orden dos.
- Ecuaciones matriciales.
- Producto no conmutativo.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos \(\det A\) y excluimos sus ceros.
Para \(a=4\), obtenemos la matriz concreta y su inversa.
Después despejamos \(X=(C-B)A^{-1}\) y efectuamos los productos.
🟣 Resolución paso a paso
a) Existencia de la inversa
\[
\det A=(a+1)(a-3)-(a-3).
\]
Sacamos factor común:
\[
\det A=(a-3)[(a+1)-1]=a(a-3).
\]
Por tanto:
\[
\det A\neq0
\Longleftrightarrow
a\neq0,3.
\]
\[
\boxed{A^{-1}\text{ existe si }a\neq0\text{ y }a\neq3.}
\]
b) Resolución de la ecuación matricial
Para \(a=4\):
\[
A=\begin{pmatrix}5&1\\1&1\end{pmatrix},
\qquad
\det A=5-1=4.
\]
Su inversa es:
\[
A^{-1}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&5\end{pmatrix}.
\]
Despejamos respetando el orden:
\[
B+XA=C
\Rightarrow
XA=C-B
\Rightarrow
X=(C-B)A^{-1}.
\]
Calculamos:
\[
C-B=
\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&1\end{pmatrix}.
\]
Por tanto:
\[
X=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&1\end{pmatrix}
\frac{1}{4}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&5\end{pmatrix}
=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}-2&6\\-2&6\end{pmatrix}.
\]
Respuesta:
\[
\boxed{X=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix}.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- La inversa existe exactamente cuando el determinante no se anula.
- En ecuaciones matriciales importa el lado desde el que se multiplica.
- El producto matricial no es conmutativo.
- Conviene comprobar el resultado sustituyendo en la ecuación original.