E10 – Probabilidad total y Bayes en estudiantes de Medicina
Castilla y León · 2020 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Los estudiantes que comienzan Medicina en el conjunto formado por Andalucía, Baleares y Castilla y León se distribuyen así:
- El \(50\%\) procede de Andalucía.
- El \(15\%\) procede de Baleares.
- El \(35\%\) procede de Castilla y León.
Los porcentajes que no consiguen el título de Médico son el \(15\%\) entre los procedentes de Andalucía, el \(10\%\) entre los de Baleares y el \(5\%\) entre los de Castilla y León.
- Calcule la probabilidad de que un estudiante elegido al azar no consiga el título. (1 punto)
- Sabiendo que un estudiante no consigue el título, ¿es más probable que proceda de Andalucía o de Castilla y León? (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Definimos los sucesos \(A\), \(B\) y \(C\) según la comunidad de procedencia, y \(N\) como «no conseguir el título».
Los porcentajes de fracaso son probabilidades condicionadas: \(P(N\mid A)\), \(P(N\mid B)\) y \(P(N\mid C)\).
El apartado a) se resuelve con probabilidad total y el apartado b) con el teorema de Bayes.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
- Sistema completo de sucesos.
- Probabilidad condicionada.
- Teorema de la probabilidad total.
- Teorema de Bayes.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos por comunidad y calculamos \(P(N)\) sumando las tres ramas que terminan en «no consigue el título».
Después calculamos \(P(A\mid N)\) y \(P(C\mid N)\).
La mayor de las dos probabilidades responde a la comparación solicitada.
🟣 Resolución paso a paso
Definimos:
- \(A\): procede de Andalucía.
- \(B\): procede de Baleares.
- \(C\): procede de Castilla y León.
- \(N\): no consigue el título.
Los datos son:
\[
P(A)=0{,}50,
\quad P(B)=0{,}15,
\quad P(C)=0{,}35,
\]
\[
P(N\mid A)=0{,}15,
\quad P(N\mid B)=0{,}10,
\quad P(N\mid C)=0{,}05.
\]
a) Probabilidad de no conseguir el título
Aplicamos el teorema de la probabilidad total:
\[
P(N)=P(A)P(N\mid A)+P(B)P(N\mid B)+P(C)P(N\mid C).
\]
Sustituimos:
\[
P(N)=0{,}50\cdot0{,}15
+0{,}15\cdot0{,}10
+0{,}35\cdot0{,}05.
\]
\[
P(N)=0{,}075+0{,}015+0{,}0175=0{,}1075.
\]
\[
\boxed{P(N)=0{,}1075=10{,}75\%.}
\]
b) Procedencia sabiendo que no obtiene el título
Aplicamos Bayes para Andalucía:
\[
P(A\mid N)
=\frac{P(A)P(N\mid A)}{P(N)}
=\frac{0{,}50\cdot0{,}15}{0{,}1075}
=\frac{30}{43}
\approx0{,}6977.
\]
Para Castilla y León:
\[
P(C\mid N)
=\frac{P(C)P(N\mid C)}{P(N)}
=\frac{0{,}35\cdot0{,}05}{0{,}1075}
=\frac{7}{43}
\approx0{,}1628.
\]
Como:
\[
0{,}6977>0{,}1628,
\]
Respuesta: es más probable que el estudiante proceda de Andalucía.
Qué debes aprender de este problema
- Los porcentajes dentro de cada comunidad son probabilidades condicionadas.
- La probabilidad total suma las ramas que producen el mismo resultado.
- Bayes invierte el sentido de una probabilidad condicionada.
- Para comparar procedencias hay que calcular probabilidades posteriores, no comparar solo porcentajes iniciales.