E9 – Grandes maestros en un torneo
Castilla y León · 2022 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
En un torneo internacional de ajedrez, el \(28\%\) de participantes son rusos y de ellos \(3/4\) son grandes maestros; el \(24\%\) son estadounidenses y la mitad son grandes maestros; el \(48\%\) procede del resto del mundo y un tercio son grandes maestros.
- Indicar las tres probabilidades condicionadas. (0,3 puntos)
- Calcular la probabilidad de elegir un gran maestro. (0,7 puntos)
- Sabiendo que es gran maestro, calcular la probabilidad de que sea ruso. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Definimos \(R,E,M\) para ruso, estadounidense y resto del mundo, y \(G\) para gran maestro. Las procedencias forman una partición.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
- Árbol de probabilidades.
- Probabilidad total.
- Teorema de Bayes.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Probabilidades condicionadas
\[
P(G\mid R)=\frac34,\qquad P(G\mid E)=\frac12,\qquad P(G\mid M)=\frac13.
\]
b) Probabilidad total
\[
P(G)=0{,}28\frac34+0{,}24\frac12+0{,}48\frac13
=0{,}21+0{,}12+0{,}16=\boxed{0{,}49}.
\]
c) Bayes
\[
P(R\mid G)=\frac{P(R)P(G\mid R)}{P(G)}
=\frac{0{,}28\cdot0{,}75}{0{,}49}
=\boxed{\frac37\approx0{,}4286}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Las probabilidades condicionadas describen la composición de cada grupo.
- La probabilidad total combina todas las procedencias.
- Bayes permite hallar la procedencia después de observar que es gran maestro.