E2 – Ecuación matricial con matrices rectangulares
Castilla y León · 2024 · Extraordinaria · General
Ficha del problema
Enunciado
Dadas las matrices:
\[
A=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix},\quad
B=\begin{pmatrix}0&2\\1&0\\-1&1\end{pmatrix},\quad
C=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix},\quad
D=\begin{pmatrix}0&3\\1&3\end{pmatrix},
\]
halle la matriz \(X\) que verifica \(AB+CX=D\). (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
El producto \(AB\) tiene dimensión \(2\times2\), por lo que \(X\) también debe ser una matriz \(2\times2\).
Hay que respetar el orden de los factores: para despejar \(X\), la inversa de \(C\) multiplica por la izquierda.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Producto de matrices.
- Matriz identidad.
- Matriz inversa.
- Ecuaciones matriciales.
En general, el producto matricial no es conmutativo.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos primero \(AB\) y pasamos ese término al segundo miembro.
Después resolvemos \(CX=D-AB\). En este caso, el segundo miembro resulta ser la identidad.
Calculamos \(C^{-1}\) y comprobamos el resultado sustituyendo.
🟣 Resolución paso a paso
Calculamos el producto:
\[AB=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&2\\1&0\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&3\\1&2\end{pmatrix}.\]
La ecuación queda:
\[CX=D-AB=\begin{pmatrix}0&3\\1&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1&3\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I.\]
Por tanto, \(X=C^{-1}\). Como:
\[C=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix},\qquad C^{-1}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\]
obtenemos:
\[\boxed{X=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.\]
Comprobación:
\[AB+CX=\begin{pmatrix}-1&3\\1&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&3\\1&3\end{pmatrix}=D.\]
Qué debes aprender de este problema
- Las dimensiones permiten anticipar el tamaño de la incógnita.
- La matriz debe despejarse respetando el lado desde el que se multiplica.
- Si \(CX=I\), entonces \(X=C^{-1}\).
- La sustitución final detecta rápidamente errores de cálculo.