E9 – Probabilidades de ganar un torneo de tenis
Castilla y León · 2024 · Extraordinaria · Específica
Ficha del problema
Enunciado
Cuatro tenistas, \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\), disputan las semifinales de un torneo de Grand Slam. Se sabe que:
- La probabilidad de que gane \(A\) es igual a la probabilidad de que gane \(B\).
- La probabilidad de que gane \(A\) es el triple de la probabilidad de que gane \(C\).
- La probabilidad de que gane \(C\) es igual a la probabilidad de que gane \(D\).
- Calcular la probabilidad de que gane el torneo cada tenista. (1 punto)
- Calcular la probabilidad de que gane \(C\) o \(D\). (0,5 puntos)
- Calcular la probabilidad de que no gane \(A\). (0,5 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Sólo uno de los cuatro semifinalistas puede ganar el torneo, por lo que los cuatro sucesos son incompatibles y sus probabilidades suman \(1\).
Conviene expresar todas las probabilidades mediante una misma incógnita.
Los apartados b) y c) se resuelven con la suma de sucesos incompatibles y la regla del complementario.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
- Sistema completo de sucesos.
- Sucesos incompatibles.
- Regla de la suma.
- Suceso contrario o complementario.
Si varios sucesos son incompatibles y cubren todos los resultados posibles, la suma de sus probabilidades es \(1\).
🟢 Estrategia de resolución
Llamaremos \(q\) a la probabilidad de que gane \(C\).
Expresaremos las probabilidades de \(A\), \(B\) y \(D\) en función de \(q\), y usaremos que las cuatro suman \(1\).
Después sumaremos las probabilidades de \(C\) y \(D\), y usaremos \( P(\overline A)=1-P(A) \).
🟣 Resolución paso a paso
a) Probabilidad de cada tenista
Sea:
\[
P(C)=q.
\]
Según los datos:
\[
P(D)=q,
\qquad
P(A)=3q,
\qquad
P(B)=3q.
\]
Como necesariamente gana uno de los cuatro:
\[
P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1.
\]
Sustituimos:
\[
3q+3q+q+q=1
\quad\Longrightarrow\quad
8q=1.
\]
Por tanto:
\[
q=\frac18.
\]
\[
\boxed{P(A)=P(B)=\frac38,
\qquad
P(C)=P(D)=\frac18.}
\]
b) Probabilidad de que gane \(C\) o \(D\)
Los sucesos «gana \(C\)» y «gana \(D\)» son incompatibles:
\[
P(C\cup D)=P(C)+P(D)
=\frac18+\frac18
=\frac14.
\]
\[
\boxed{P(C\cup D)=\frac14.}
\]
c) Probabilidad de que no gane \(A\)
Aplicamos la regla del complementario:
\[
P(\overline A)=1-P(A)
=1-\frac38
=\frac58.
\]
\[
\boxed{P(\overline A)=\frac58.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Expresar todas las probabilidades con una sola incógnita simplifica el planteamiento.
- Las probabilidades de todos los posibles ganadores suman \(1\).
- Las probabilidades de sucesos incompatibles se suman.
- La probabilidad de un suceso contrario es \(1\) menos la del suceso original.