E3 – Perpendicularidad de rectas y planos
Castilla y León · 2023 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dadas
\[
r_1:\begin{cases}x=1+t\\y=2t\\z=-1+t\end{cases},
\qquad
r_2:\frac{x-1}{3}=\frac y2=\frac z2,
\]
- Razonar si existe un plano perpendicular a \(r_2\) que contenga a \(r_1\). (1 punto)
- Calcular la recta que pasa por \((1,0,0)\) y cuyo vector director es perpendicular a los de \(r_1\) y \(r_2\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Identificaremos puntos, vectores directores y vectores normales antes de escribir las ecuaciones.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Paralelismo y perpendicularidad.
- Vectores directores y normales.
- Distancias en el espacio.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Existencia del plano
Los directores son \(\vec v_1=(1,2,1)\) y \(\vec v_2=(3,2,2)\). Si un plano es perpendicular a \(r_2\), su normal es paralela a \(\vec v_2\).
Para contener a \(r_1\), su normal tendría que ser perpendicular a \(\vec v_1\). Sin embargo,
\[
\vec v_1\cdot\vec v_2=3+4+2=9\ne0.
\]
Por tanto, \(\boxed{\text{no existe tal plano}}\).
b) Recta perpendicular a ambas direcciones
Tomamos el producto vectorial:
\[
\vec v_1\times\vec v_2=(2,1,-4).
\]
La recta pedida es
\[
\boxed{(x,y,z)=(1,0,0)+s(2,1,-4)},\qquad s\in\mathbb R.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Un plano perpendicular a una recta tiene una normal paralela al director de la recta.
- Para que una recta esté contenida en un plano, su director debe ser perpendicular a la normal.
- El producto vectorial da una dirección perpendicular a dos vectores.