E4 – Rectas con parámetro y plano común
Castilla y León · 2024 · Ordinaria · General
Ficha del problema
Enunciado
Se consideran las rectas:
\[
r_1\equiv
\begin{cases}
x=1,\\
y=kt,\\
z=k-2t,
\end{cases}
\quad t\in\mathbb R,
\qquad
r_2\equiv
\begin{cases}
x+2y+2z=-1,\\
x+y+z=k.
\end{cases}
\]
- Determine los valores de \(k\in\mathbb R\) para los que las dos rectas son paralelas. (1 punto)
- Para \(k=2\), ¿existe algún plano que contenga a \(r_1\) y \(r_2\)? En caso afirmativo, calcúlelo. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
La recta \(r_1\) ya está en forma paramétrica.
La recta \(r_2\) aparece como intersección de dos planos y debe parametrizarse para obtener su vector director.
Dos rectas paralelas distintas determinan un único plano.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Recta definida como intersección de planos.
- Vectores directores proporcionales.
- Plano determinado por dos rectas paralelas.
- Producto vectorial para obtener un vector normal.
Para construir el plano se usan un vector director común y un vector que una un punto de cada recta.
🟢 Estrategia de resolución
Parametrizamos \(r_2\) restando sus dos ecuaciones y tomando una variable libre.
Comparamos su vector director con el de \(r_1\) para hallar \(k\).
Para \(k=2\), elegimos un punto de cada recta, calculamos un vector de unión y obtenemos la normal mediante un producto vectorial.
🟣 Resolución paso a paso
a) Condición de paralelismo
Un punto y un vector director de \(r_1\) son:
\[
A=(1,0,k),\qquad \vec v_1=(0,k,-2).
\]
En \(r_2\), restando las ecuaciones obtenemos \(y+z=-1-k\), y sustituyendo resulta \(x=2k+1\). Una parametrización es:
\[
r_2:(x,y,z)=(2k+1,s,-1-k-s),
\]
con vector director \(\vec v_2=(0,1,-1)\).
Para que sean paralelas debe cumplirse:
\[
(0,k,-2)=\lambda(0,1,-1).
\]
De la tercera componente, \(\lambda=2\), y de la segunda:
\[
\boxed{k=2}.
\]
b) Plano para \(k=2\)
Las rectas son paralelas y distintas porque en \(r_1\), \(x=1\), mientras que en \(r_2\), \(x=5\). Tomamos:
\[
A=(1,0,2)\in r_1,
\qquad
B=(5,0,-3)\in r_2.
\]
Un vector director común es \(\vec v=(0,1,-1)\) y:
\[
\overrightarrow{AB}=(4,0,-5).
\]
Un vector normal al plano es:
\[
\vec n=\vec v\times\overrightarrow{AB}=(-5,-4,-4),
\]
equivalente a \((5,4,4)\). El plano que pasa por \(A\) es:
\[
5(x-1)+4y+4(z-2)=0.
\]
Respuesta: existe un único plano y es \(\boxed{5x+4y+4z=13}\).
Qué debes aprender de este problema
- Una recta dada por dos planos puede parametrizarse resolviendo el sistema.
- El paralelismo exige vectores directores proporcionales.
- Dos rectas paralelas distintas siempre determinan un plano.
- El vector que une las rectas es esencial para construir ese plano.