E2 – Determinante y rango de una matriz
Castilla y León · 2024 · Ordinaria · General
Ficha del problema
Enunciado
Sean \(a\in\mathbb R\) y:
\[
M=\begin{pmatrix}
1&1&2\\
a&1&0\\
1&1&a
\end{pmatrix}.
\]
- Calcule el determinante y el rango de \(M\) para cada valor \(a\in\mathbb R\). (1 punto)
- Para \(a=0\), calcule el determinante de la matriz \(P\) cuando \(2PM=M^3\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
El apartado a) pide localizar los valores de \(a\) que hacen singular a \(M\) y estudiar su rango en esos casos.
En el apartado b), al fijar \(a=0\), la matriz \(M\) es invertible.
No es necesario calcular todos los elementos de \(P\): basta aplicar determinantes a la igualdad matricial.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Determinante con parámetro.
- Rango de una matriz.
- Determinante de un producto y de una potencia.
- Efecto de multiplicar una matriz de orden \(3\) por un escalar.
\(\det(2A)=2^3\det(A)\) para matrices cuadradas de orden \(3\).
🟢 Estrategia de resolución
Factorizamos \(\det M\) y estudiamos por separado \(a=1\) y \(a=2\).
Para el rango basta encontrar un menor de orden \(2\) no nulo cuando el determinante se anula.
En b) tomamos determinantes en \(2PM=M^3\) y despejamos \(\det P\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Determinante y rango
Desarrollando el determinante:
\[
\det M=-a^2+3a-2=-(a-1)(a-2).
\]
- Si \(a\neq1,2\), entonces \(\det M\neq0\) y \(\operatorname{rg}(M)=3\).
- Si \(a=1\), las dos primeras columnas coinciden, pero hay un menor de orden \(2\) no nulo; por tanto, \(\operatorname{rg}(M)=2\).
- Si \(a=2\), las filas primera y tercera coinciden y también existe un menor de orden \(2\) no nulo; por tanto, \(\operatorname{rg}(M)=2\).
\[
\boxed{
\operatorname{rg}(M)=
\begin{cases}
3,&a\neq1,2,\\
2,&a=1\text{ o }a=2.
\end{cases}}
\]
b) Determinante de \(P\) para \(a=0\)
Para \(a=0\):
\[
\det M=-2.
\]
Tomamos determinantes en \(2PM=M^3\). Como las matrices son de orden \(3\):
\[
\det(2PM)=2^3\det(P)\det(M),
\qquad
\det(M^3)=\det(M)^3.
\]
Así:
\[
8\det(P)(-2)=(-2)^3
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{\det(P)=\frac12}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- El rango es máximo cuando el determinante no se anula.
- Si el determinante es cero, un menor no nulo permite fijar el rango exacto.
- Tomar determinantes puede evitar calcular una matriz desconocida.
- El escalar \(2\) aporta un factor \(2^3\) al determinante de una matriz de orden \(3\).