E9 – Vehículos que requieren reparación
Castilla y León · 2024 · Ordinaria · General
Ficha del problema
Enunciado
Entre los vehículos que revisa un taller mecánico:
- El \(48\,\%\) son coches, de los cuales las tres cuartas partes requieren reparación.
- El \(28\,\%\) son motocicletas y entre ellas la mitad requieren reparación.
- El \(24\,\%\) son furgonetas, de las cuales un tercio requieren reparación.
Se consideran los sucesos \(C=\) “coche”, \(M=\) “motocicleta”, \(F=\) “furgoneta” y \(R=\) “requiere reparación”.
- Indique las probabilidades, condicionadas o no, consideradas en el enunciado y sus valores. (0,2 puntos)
- Calcule \(P(R\cap F)\), \(P(R)\) y \(P(C\mid R)\). (1,3 puntos)
- ¿Son independientes los sucesos \(C\) y \(R\)? (0,5 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Los sucesos \(C\), \(M\) y \(F\) forman una partición: cada vehículo pertenece exactamente a uno de los tres tipos.
Los porcentajes de reparación dentro de cada grupo son probabilidades condicionadas.
Un árbol con tres ramas iniciales permite organizar todos los productos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
- Probabilidades condicionadas.
- Regla del producto.
- Teorema de la probabilidad total.
- Fórmula de Bayes.
- Independencia de sucesos.
\(A\) y \(B\) son independientes si \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).
🟢 Estrategia de resolución
Traducimos literalmente los porcentajes y fracciones del enunciado.
Calculamos cada intersección multiplicando la probabilidad del tipo por la reparación condicionada.
Sumamos las tres vías para hallar \(P(R)\), aplicamos Bayes y comparamos \(P(R\mid C)\) con \(P(R)\) para estudiar la independencia.
🟣 Resolución paso a paso
a) Datos probabilísticos
\[
P(C)=0{,}48,\qquad P(M)=0{,}28,\qquad P(F)=0{,}24.
\]
\[
P(R\mid C)=\frac34,\qquad
P(R\mid M)=\frac12,\qquad
P(R\mid F)=\frac13.
\]
b) Intersección, probabilidad total y Bayes
Para las furgonetas:
\[
P(R\cap F)=P(F)P(R\mid F)
=0{,}24\cdot\frac13
=\boxed{0{,}08}.
\]
La probabilidad total de requerir reparación es:
\[
\begin{aligned}
P(R)&=0{,}48\cdot\frac34
+0{,}28\cdot\frac12
+0{,}24\cdot\frac13\\
&=0{,}36+0{,}14+0{,}08\\
&=\boxed{0{,}58}.
\end{aligned}
\]
Por Bayes:
\[
P(C\mid R)
=\frac{P(C\cap R)}{P(R)}
=\frac{0{,}48\cdot\frac34}{0{,}58}
=\frac{0{,}36}{0{,}58}
=\boxed{\frac{18}{29}\approx0{,}6207}.
\]
c) Independencia
Si \(C\) y \(R\) fueran independientes, debería cumplirse \(P(R\mid C)=P(R)\). Sin embargo:
\[
P(R\mid C)=0{,}75\neq0{,}58=P(R).
\]
Respuesta: \(\boxed{C\text{ y }R\text{ no son independientes}}\).
Qué debes aprender de este problema
- Las expresiones “de los cuales” y “entre ellas” introducen probabilidades condicionadas.
- La probabilidad total suma las vías incompatibles que conducen a una reparación.
- Bayes invierte el sentido de la condición.
- La independencia puede comprobarse comparando una probabilidad condicionada con la no condicionada.