E3 – Punto simétrico respecto de una recta
Castilla y León · 2024 · Ordinaria · General
Ficha del problema
Enunciado
Halle el punto simétrico del punto \(P=(1,0,-1)\) respecto de la recta:
\[
r\equiv\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{2}.
\]
(2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
La simetría respecto de una recta en el espacio es un giro de \(180^\circ\) alrededor de ella.
Si \(H\) es la proyección ortogonal de \(P\) sobre \(r\), entonces \(H\) es el punto medio entre \(P\) y su simétrico (P').
Necesitamos hallar primero el pie de la perpendicular.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Ecuación paramétrica de una recta.
- Proyección ortogonal.
- Producto escalar.
- Punto medio y simetría axial.
El vector \(\overrightarrow{PH}\) debe ser perpendicular al vector director de la recta.
🟢 Estrategia de resolución
Parametrizamos \(r\) como \(H(t)=(1+t,2t,2t)\), con vector director \(\vec v=(1,2,2)\).
Imponemos \(\overrightarrow{PH(t)}\cdot\vec v=0\) para hallar \(t\).
Finalmente usamos \(P'=2H-P\).
🟣 Resolución paso a paso
Una parametrización de la recta es:
\[
H(t)=(1+t,2t,2t),\qquad \vec v=(1,2,2).
\]
Como \(H\) es la proyección ortogonal:
\[
(H-P)\cdot\vec v=0.
\]
Tenemos \(H-P=(t,2t,2t+1)\), luego:
\[
t+4t+2(2t+1)=0
\quad\Longrightarrow\quad
9t+2=0
\quad\Longrightarrow\quad
t=-\frac29.
\]
Por tanto:
\[
H=\left(\frac79,-\frac49,-\frac49\right).
\]
El punto simétrico satisface \(H=\dfrac{P+P'}2\), de donde:
\[
P'=2H-P
=\left(\frac59,-\frac89,\frac19\right).
\]
Respuesta: \(\boxed{P'=\left(\dfrac59,-\dfrac89,\dfrac19\right)}\).
Qué debes aprender de este problema
- La proyección sobre el eje de simetría es el punto medio del segmento que une los puntos simétricos.
- La perpendicularidad se traduce en un producto escalar nulo.
- Conviene comprobar que el punto \(H\) pertenece a la recta.
- La fórmula \(P'=2H-P\) evita plantear nuevas ecuaciones.