E3 – Recta contenida en un plano y perpendicular
Castilla y León · 2024 · Extraordinaria · General
Ficha del problema
Enunciado
Dados la recta \(r\equiv x=y=z\), el plano \(\pi\equiv x+2y-3z=0\) y el punto \(P=(1,1,1)\), se pide:
- Determine la posición relativa de \(r\) y \(\pi\). (1 punto)
- Halle la recta perpendicular a \(r\), contenida en \(\pi\) y que pasa por \(P\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
La igualdad \(x=y=z\) permite parametrizar la recta como \((x,y,z)=(t,t,t)\).
El punto \(P\) pertenece tanto a la recta como al plano.
La nueva recta necesita un vector perpendicular al director de \(r\) y, a la vez, perpendicular al normal de \(\pi\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Posición relativa entre recta y plano.
- Producto escalar.
- Producto vectorial.
- Rectas perpendiculares en el espacio.
Un vector contenido en un plano es ortogonal a su vector normal.
🟢 Estrategia de resolución
Comprobamos si el vector director de \(r\) es perpendicular al normal del plano y sustituimos un punto de \(r\) en la ecuación de \(\pi\).
Para el apartado b), calculamos un vector perpendicular a ambos mediante \(\vec n\times\vec v\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Posición relativa
Una parametrización de la recta es:
\[r:(x,y,z)=(t,t,t),\qquad \vec v=(1,1,1).\]
El vector normal del plano es \(\vec n=(1,2,-3)\). Como:
\[\vec v\cdot\vec n=1+2-3=0,\]
la recta es paralela al plano o está contenida en él. Sustituyendo \((t,t,t)\):
\[t+2t-3t=0.\]
La igualdad se cumple para todo \(t\), luego:
\[\boxed{r\subset\pi}.\]
b) Recta perpendicular
Buscamos un vector \(\vec w\) perpendicular a \(\vec v\) y contenido en \(\pi\). Podemos tomar:
\[\vec w=\vec n\times\vec v=(1,2,-3)\times(1,1,1)=(5,-4,-1).\]
Se verifica \(\vec w\cdot\vec v=5-4-1=0\) y \(\vec w\cdot\vec n=5-8+3=0\).
La recta pedida es:
\[\boxed{s:(x,y,z)=(1,1,1)+\mu(5,-4,-1),\qquad \mu\in\mathbb R.}\]
Qué debes aprender de este problema
- Un producto escalar nulo detecta paralelismo entre una recta y un plano.
- Hay que comprobar un punto para distinguir paralelismo y contención.
- El producto vectorial produce un vector perpendicular a dos vectores dados.
- La respuesta debe satisfacer simultáneamente todas las condiciones geométricas.