E3 – Plano paralelo a una recta y perpendicular a otro plano
Castilla y León · 2020 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sean el plano:
\[\pi:x-2y+2z+1=0,\]
la recta:
\[r:\begin{cases}x-y=0,\\z+1=0,\end{cases}\]
y el punto \(A=(1,3,-1)\). Halle el plano que pasa por \(A\), es paralelo a \(r\) y perpendicular a \(\pi\). (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
El plano buscado debe contener una dirección paralela a \(r\).
Además, por ser perpendicular a \(\pi\), su vector normal debe ser perpendicular al normal de \(\pi\).
El producto vectorial entre el director de \(r\) y el normal de \(\pi\) proporciona una normal adecuada.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Vector director de una recta.
- Vector normal de un plano.
- Paralelismo entre recta y plano.
- Perpendicularidad entre planos.
🟢 Estrategia de resolución
Parametrizamos \(r\) para obtener su vector director.
Calculamos un vector perpendicular al director de \(r\) y al normal de \(\pi\).
Usamos ese vector como normal del plano buscado y determinamos el término independiente con el punto \(A\).
🟣 Resolución paso a paso
De las ecuaciones de \(r\):
\[
x=y=t,
\qquad
z=-1.
\]
Por tanto, un vector director de la recta es:
\[
\vec v_r=(1,1,0).
\]
El vector normal del plano dado es:
\[
\vec n_\pi=(1,-2,2).
\]
Buscamos una normal \(\vec n\) del nuevo plano perpendicular a ambos vectores. Podemos calcular:
\[
\vec n=\vec n_\pi\times\vec v_r
=
\begin{vmatrix}
\vec i&\vec j&\vec k\\
1&-2&2\\
1&1&0
\end{vmatrix}
=(-2,2,3).
\]
La ecuación del plano buscado tiene la forma:
\[
-2x+2y+3z+D=0.
\]
Como pasa por \(A=(1,3,-1)\):
\[
-2+2\cdot3+3(-1)+D=0
\Rightarrow
1+D=0
\Rightarrow
D=-1.
\]
Respuesta:
\[
\boxed{\pi':-2x+2y+3z-1=0.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Una recta paralela a un plano aporta una dirección contenida en él.
- Dos planos perpendiculares tienen normales perpendiculares.
- El producto vectorial permite imponer simultáneamente dos ortogonalidades.
- Un punto fija el término independiente de la ecuación del plano.