A3 – Extremos y monotonía de un polinomio
Castilla y León · 2019 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sea \(f(x)=2x^3+3x^2-12x\), con \(x\in\mathbb R\).
- Calcule sus máximos y mínimos relativos y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (1 punto)
- Calcule el máximo y el mínimo absolutos en \([-2,2]\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Los extremos relativos se localizan con la primera derivada. Para los extremos absolutos en un intervalo cerrado también hay que evaluar los extremos del intervalo.
🔵 Conceptos matemáticos
- Derivada de un polinomio.
- Tabla de signos de la derivada.
- Extremos relativos.
- Extremos absolutos en un intervalo cerrado.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos y factorizamos \(f'(x)\), estudiamos su signo y evaluamos \(f\) en los puntos críticos. Después comparamos los valores en los puntos críticos interiores y en los extremos de \([-2,2]\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Crecimiento y extremos relativos
\[
f'(x)=6x^2+6x-12=6(x^2+x-2)=6(x+2)(x-1).
\]
Los puntos críticos son:
\[
f'(x)=0
\quad\Longrightarrow\quad
x=-2,\;x=1.
\]
Estudiamos el signo de \(f'(x)\):
\[
\begin{array}{c|ccccc}
x&(-\infty,-2)&-2&(-2,1)&1&(1,+\infty)\\ \hline
f'(x)&+&0&-&0&+
\end{array}
\]
Por tanto:
- \(f\) crece en \((-\infty,-2)\cup(1,+\infty)\).
- \(f\) decrece en \((-2,1)\).
Calculamos las ordenadas:
\[
f(-2)=20,\qquad f(1)=-7.
\]
\[
\boxed{\text{Máximo relativo en }(-2,20)}
\]
\[
\boxed{\text{Mínimo relativo en }(1,-7)}
\]
b) Extremos absolutos en \([-2,2]\)
Evaluamos la función en los extremos del intervalo y en los puntos críticos que pertenecen a él:
\[
f(-2)=20,\qquad f(1)=-7,\qquad f(2)=4.
\]
Al comparar los tres valores:
\[
\boxed{\max_{[-2,2]}f=20\text{ en }x=-2},
\qquad
\boxed{\min_{[-2,2]}f=-7\text{ en }x=1}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- El signo de la primera derivada determina el crecimiento.
- Un cambio de \(+\) a \(-\) produce un máximo; de \(-\) a \(+\), un mínimo.
- En un intervalo cerrado deben compararse puntos críticos y extremos.