E4 – Plano por dos puntos paralelo a una recta
Castilla y León · 2024 · Extraordinaria · General
Ficha del problema
Enunciado
Determine el plano que pasa por los puntos \(P=(1,1,2)\) y \(Q=(3,-1,1)\), y es paralelo a la recta:
\[r\equiv x-1=y=z.\] (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
El plano contiene el vector \(\overrightarrow{PQ}\) y, por ser paralelo a \(r\), también contiene un vector director de la recta.
Con esos dos vectores independientes se obtiene un vector normal mediante el producto vectorial.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Vector entre dos puntos.
- Vector director de una recta.
- Producto vectorial.
- Ecuación general de un plano.
Dos vectores no proporcionales y un punto determinan un plano.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos \(\overrightarrow{PQ}\) y parametrizamos la recta para extraer su vector director.
El producto vectorial proporciona un vector normal.
Escribimos la ecuación punto-normal y comprobamos que contiene a \(P\) y \(Q\).
🟣 Resolución paso a paso
El vector determinado por los puntos es:
\[\overrightarrow{PQ}=Q-P=(2,-2,-1).\]
De \(x-1=y=z\) obtenemos un vector director de la recta:
\[\vec v=(1,1,1).\]
Un vector normal al plano es:
\[\vec n=\overrightarrow{PQ}\times\vec v=(2,-2,-1)\times(1,1,1)=(-1,-3,4).\]
Podemos usar el vector equivalente \((1,3,-4)\). La ecuación del plano que pasa por \(P=(1,1,2)\) es:
\[(x-1)+3(y-1)-4(z-2)=0.\]
Simplificando:
\[\boxed{\pi:x+3y-4z+4=0}.\]
Qué debes aprender de este problema
- El vector entre los puntos pertenece al plano.
- El paralelismo con una recta incorpora su vector director al plano.
- El producto vectorial proporciona la normal.
- La ecuación final debe verificarse con los dos puntos.