E8 – Límite e integral exponencial
Castilla y León · 2024 · Ordinaria · General
Ficha del problema
Enunciado
Calcular:
-
\[
\lim_{x\to 0}\frac{x(e^x-1)}{\cos(x)-1}
\]
(1 punto) -
\[
\int_0^2 e^{-x}(x-1)\,dx
\]
(1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
El ejercicio reúne dos procedimientos distintos del bloque de Análisis.
En el primer apartado debemos calcular un límite. Antes de utilizar la regla de L’Hôpital hay que sustituir \(x=0\) y comprobar que aparece una indeterminación del tipo:
\[
\frac{0}{0}
\]
En el segundo apartado aparece una integral definida. Primero obtendremos, paso a paso, una primitiva mediante integración por partes. Solo después aplicaremos la regla de Barrow entre \(0\) y \(2\).
Es importante separar claramente ambos momentos: primero calculamos la integral indefinida y después evaluamos la primitiva en los extremos.
🔵 Conceptos matemáticos
Los conceptos principales que intervienen son:
- Indeterminaciones del tipo \(0/0\).
- Regla de L’Hôpital.
- Regla del producto para derivar.
- Integración por partes.
- Cálculo de primitivas.
- Regla de Barrow.
La regla de L’Hôpital establece que, bajo las condiciones adecuadas, si al sustituir aparece una indeterminación \(0/0\), podemos estudiar:
\[
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}
=
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
\]
La fórmula de integración por partes es:
\[
\int u\,dv=uv-\int v\,du
\]
Si \(F\) es una primitiva de \(f\), la regla de Barrow permite calcular:
\[
\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)
\]
🟢 Estrategia de resolución
Apartado a). Sustituiremos \(x=0\). Como aparece \(0/0\), aplicaremos L’Hôpital derivando por separado el numerador y el denominador. Después volveremos a sustituir. La primera aplicación produce otra indeterminación \(0/0\), por lo que aplicaremos L’Hôpital una segunda vez.
Apartado b). Comenzaremos con la integral indefinida:
\[
\int e^{-x}(x-1)\,dx
\]
Elegiremos \(u=x-1\) y \(dv=e^{-x}dx\), aplicaremos la fórmula de integración por partes y simplificaremos la primitiva.
Finalmente usaremos esa primitiva para calcular la integral definida mediante la regla de Barrow.
🟣 Resolución paso a paso
a) Cálculo del límite mediante la regla de L’Hôpital
Queremos calcular:
\[
L=\lim_{x\to 0}\frac{x(e^x-1)}{\cos(x)-1}
\]
Paso 1. Comprobar la indeterminación
Sustituimos \(x=0\) en el numerador:
\[
0\cdot(e^0-1)=0\cdot(1-1)=0
\]
Sustituimos \(x=0\) en el denominador:
\[
\cos(0)-1=1-1=0
\]
Por tanto, obtenemos:
\[
\frac{0}{0}
\]
Como se trata de una indeterminación \(0/0\), podemos aplicar la regla de L’Hôpital.
Paso 2. Primera aplicación de L’Hôpital
Derivamos el numerador. Como es un producto, utilizamos la regla:
\[
\bigl[x(e^x-1)\bigr]'
=1\cdot(e^x-1)+x\cdot e^x
\]
Simplificando:
\[
\bigl[x(e^x-1)\bigr]'=(1+x)e^x-1
\]
Derivamos el denominador:
\[
\bigl[\cos(x)-1\bigr]'=-\sin(x)
\]
Después de la primera aplicación de L’Hôpital:
\[
L=\lim_{x\to0}\frac{(1+x)e^x-1}{-\sin(x)}
\]
Volvemos a sustituir \(x=0\):
\[
(1+0)e^0-1=1-1=0
\]
\[
-\sin(0)=0
\]
Seguimos teniendo una indeterminación \(0/0\), por lo que aplicamos L’Hôpital por segunda vez.
Paso 3. Segunda aplicación de L’Hôpital
Derivamos el nuevo numerador. De nuevo aparece un producto:
\[
\bigl[(1+x)e^x-1\bigr]'
=1\cdot e^x+(1+x)e^x
\]
Sacamos factor común \(e^x\):
\[
\bigl[(1+x)e^x-1\bigr]'=(x+2)e^x
\]
Derivamos el nuevo denominador:
\[
[-\sin(x)]'=-\cos(x)
\]
Así, el límite queda:
\[
L=\lim_{x\to0}\frac{(x+2)e^x}{-\cos(x)}
\]
Ahora podemos sustituir directamente \(x=0\):
\[
L=\frac{(0+2)e^0}{-\cos(0)}
=\frac{2\cdot1}{-1}
=-2
\]
Por tanto:
\[
\boxed{\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x(e^x-1)}{\cos(x)-1}=-2}
\]
b) Cálculo de la integral definida
Queremos calcular:
\[
\int_0^2 e^{-x}(x-1)\,dx
\]
Primero obtendremos una primitiva mediante integración por partes.
Paso 1. Calcular previamente la integral indefinida
Consideramos:
\[
I=\int e^{-x}(x-1)\,dx
\]
Utilizamos la fórmula:
\[
\int u\,dv=uv-\int v\,du
\]
Elegimos:
\[
u=x-1
\qquad\Longrightarrow\qquad
du=dx
\]
\[
dv=e^{-x}\,dx
\qquad\Longrightarrow\qquad
v=\int e^{-x}\,dx=-e^{-x}
\]
Sustituimos en la fórmula de integración por partes:
\[
I=(x-1)(-e^{-x})-\int(-e^{-x})\,dx
\]
Es decir:
\[
I=-(x-1)e^{-x}+\int e^{-x}\,dx
\]
Como:
\[
\int e^{-x}\,dx=-e^{-x}
\]
obtenemos:
\[
I=-(x-1)e^{-x}-e^{-x}+C
\]
Sacamos factor común \(e^{-x}\) y simplificamos:
\[
I=\bigl[-(x-1)-1\bigr]e^{-x}+C
\]
\[
I=-xe^{-x}+C
\]
Por tanto, una primitiva es:
\[
F(x)=-xe^{-x}
\]
Podemos comprobarla derivando:
\[
F'(x)=-e^{-x}+xe^{-x}=(x-1)e^{-x}
\]
que coincide con el integrando.
Paso 2. Aplicar la regla de Barrow
Ahora que ya conocemos una primitiva, aplicamos:
\[
\int_0^2 e^{-x}(x-1)\,dx=F(2)-F(0)
\]
Calculamos los dos valores:
\[
F(2)=-2e^{-2}
\]
\[
F(0)=-0\cdot e^0=0
\]
Por tanto:
\[
\int_0^2 e^{-x}(x-1)\,dx
=-2e^{-2}-0
=-2e^{-2}
=-\frac{2}{e^2}
\]
Resultados finales:
\[
\boxed{
\begin{aligned}
\text{a)}\;&-2\\
\text{b)}\;&-\frac{2}{e^2}
\end{aligned}
}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Antes de aplicar L’Hôpital hay que comprobar que el límite presenta una indeterminación adecuada.
- Al aplicar L’Hôpital se deriva el numerador y el denominador por separado.
- Si después de la primera aplicación sigue apareciendo \(0/0\), puede ser necesario aplicar la regla de nuevo.
- La derivada de \(x(e^x-1)\) exige utilizar la regla del producto.
- En una integral definida podemos calcular primero una primitiva mediante integración por partes.
- La regla de Barrow se aplica después de obtener la primitiva: \(F(b)-F(a)\).
- Derivar la primitiva obtenida permite comprobar que los signos son correctos.