E8 – Estudio completo de una función exponencial
Castilla y León · 2018 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dada la función
\[
f(x)=xe^{-x},
\]
determine su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y puntos de inflexión. Esboce también su gráfica. (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
El estudio combina límites en los extremos del dominio con el signo de la primera y la segunda derivada.
🔵 Conceptos matemáticos
- Dominio y límites en el infinito.
- Asíntotas horizontales.
- Monotonía y extremos mediante \(f'(x)\).
- Concavidad e inflexión mediante \(f''(x)\).
🟢 Estrategia de resolución
Determinamos el dominio, calculamos los límites y después construimos las tablas de signos de \(f'\) y \(f''\). Con todos los datos describimos el esbozo.
🟣 Resolución paso a paso
Dominio y asíntotas
La función está definida para todo número real:
\[
\operatorname{Dom}(f)=\mathbb R.
\]
Estudiamos los límites:
\[
\lim_{x\to+\infty}xe^{-x}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^x}
=0,
\]
por ejemplo, aplicando una vez L’Hôpital:
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^x}
=\lim_{x\to+\infty}\frac1{e^x}=0.
\]
Así, \(y=0\) es una asíntota horizontal cuando \(x\to+\infty\). Por otro lado:
\[
\lim_{x\to-\infty}xe^{-x}=-\infty.
\]
No hay asíntotas verticales porque el dominio es todo \(\mathbb R\), ni asíntota oblicua cuando \(x\to-\infty\).
Crecimiento y extremos
\[
f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x).
\]
Como \(e^{-x}\gt0\), el signo depende de \(1-x\):
\[
\begin{array}{c|ccc}
x&(-\infty,1)&1&(1,+\infty)\\ \hline
f'(x)&+&0&-
\end{array}
\]
- \(f\) crece en \((-\infty,1)\).
- \(f\) decrece en \((1,+\infty)\).
En \(x=1\) hay un máximo relativo:
\[
\boxed{\text{Máximo relativo en }\left(1,\frac1e\right).}
\]
Concavidad y punto de inflexión
\[
f''(x)
=-e^{-x}(1-x)-e^{-x}
=e^{-x}(x-2).
\]
\[
\begin{array}{c|ccc}
x&(-\infty,2)&2&(2,+\infty)\\ \hline
f''(x)&-&0&+
\end{array}
\]
- La gráfica es cóncava hacia abajo en \((-\infty,2)\).
- La gráfica es cóncava hacia arriba en \((2,+\infty)\).
La concavidad cambia en \(x=2\), luego existe un punto de inflexión:
\[
\boxed{\left(2,\frac{2}{e^2}\right).}
\]
Esbozo
La gráfica pasa por \((0,0)\), crece desde \(-\infty\) hasta el máximo \((1,1/e)\), cambia de concavidad en \((2,2/e^2)\) y después decrece acercándose a la asíntota \(y=0\) por valores positivos.
Representación gráfica
Qué debes aprender de este problema
- El factor exponencial \(e^{-x}\) siempre es positivo y simplifica las tablas de signos.
- Un cambio de \(+\) a \(-\) en \(f'\) produce un máximo, no un mínimo.
- La segunda derivada determina la concavidad y los puntos de inflexión.