E8 – Polinomio cúbico con condiciones
Castilla y León · 2024 · Extraordinaria · Específica
Ficha del problema
Enunciado
Sea la función:
\[
f(x)=ax^3-bx+c.
\]
- Calcular \(a\), \(b\) y \(c\) para que el punto \((1,2)\) sea un extremo relativo de la función y se cumpla:
\[
\int_0^1 f(x)\,dx=1.
\]
(1,6 puntos) - Indicar si el extremo relativo situado en \((1,2)\) es un máximo o un mínimo, razonando la respuesta. (0,4 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Que \((1,2)\) pertenezca a la gráfica significa \(f(1)=2\).
Que sea un extremo relativo obliga a que \(f'(1)=0\).
La condición integral proporciona una tercera ecuación para determinar \(a\), \(b\) y \(c\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Condiciones de pertenencia de un punto a una gráfica.
- Condición necesaria de extremo relativo.
- Integral definida y regla de Barrow.
- Criterio de la segunda derivada.
Si \(f'(x_0)=0\) y \(f''(x_0)<0\), en \(x_0\) hay un máximo relativo.
🟢 Estrategia de resolución
Traduciremos cada dato a una ecuación: \(f(1)=2\), \(f'(1)=0\) y la condición de la integral.
Resolveremos el sistema lineal resultante.
Para clasificar el extremo calcularemos \(f''(1)\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Cálculo de los parámetros
Como el punto \((1,2)\) pertenece a la gráfica:
\[
f(1)=a-b+c=2.
\]
Derivamos:
\[
f'(x)=3ax^2-b.
\]
Al ser \(x=1\) un extremo relativo:
\[
f'(1)=3a-b=0.
\]
Calculamos ahora una primitiva:
\[
\int (ax^3-bx+c)\,dx
=\frac{a}{4}x^4-\frac{b}{2}x^2+cx+C.
\]
Aplicando la regla de Barrow:
\[
\int_0^1f(x)\,dx
=\left[\frac{a}{4}x^4-\frac{b}{2}x^2+cx\right]_0^1
=\frac a4-\frac b2+c.
\]
La condición del enunciado proporciona:
\[
\frac a4-\frac b2+c=1.
\]
Por tanto, resolvemos el sistema:
\[
\begin{cases}
a-b+c=2,\\
3a-b=0,\\
\dfrac a4-\dfrac b2+c=1.
\end{cases}
\]
De \(3a-b=0\) obtenemos \(b=3a\). Sustituyendo en las otras dos ecuaciones:
\[
-2a+c=2,
\qquad
-\frac{5a}{4}+c=1.
\]
Restando ambas ecuaciones:
\[
\frac{3a}{4}=-1
\quad\Longrightarrow\quad
a=-\frac43.
\]
Entonces:
\[
b=3a=-4,
\qquad
c=2+2a=-\frac23.
\]
\[
\boxed{a=-\frac43,\qquad b=-4,\qquad c=-\frac23.}
\]
b) Clasificación del extremo
La segunda derivada es:
\[
f''(x)=6ax.
\]
En \(x=1\):
\[
f''(1)=6\left(-\frac43\right)=-8<0.
\]
Por el criterio de la segunda derivada:
\[
\boxed{(1,2)\text{ es un máximo relativo}.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Cada condición geométrica o analítica del enunciado debe traducirse a una ecuación.
- En un extremo derivable, la primera derivada se anula.
- La regla de Barrow convierte la integral definida en una condición algebraica.
- El signo de la segunda derivada permite clasificar un punto crítico.