E8 – Monotonía, extremos y área con cambio de signo
Castilla y León · 2020 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Dada la función:
\[
f(x)=\frac{\ln x}{x},
\]
encuentre sus extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (1 punto) - Dada la función \(g(x)=x^2-2x\), estudie su signo en \([1,3]\) y encuentre el área del recinto comprendido entre su gráfica, el eje \(OX\) y las rectas \(x=1\) y \(x=3\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
En el apartado a) hay que comenzar por el dominio, ya que aparece un logaritmo y una división entre \(x\).
En el apartado b), la función cambia de signo dentro del intervalo. El área geométrica no puede obtenerse con una única integral con signo.
Hay que dividir el intervalo en el punto de corte con el eje \(OX\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Dominio de funciones logarítmicas.
- Monotonía mediante la primera derivada.
- Extremos relativos.
- Área entre una curva y el eje de abscisas.
- Regla de Barrow.
🟢 Estrategia de resolución
Para \(f(x)=\ln x/x\), calculamos el dominio, derivamos y estudiamos el signo de \(f'\).
Para \(g(x)=x^2-2x\), factorizamos, localizamos el cero de \([1,3]\) y separamos las integrales.
Calculamos primero la primitiva y después aplicamos Barrow en cada tramo.
🟣 Resolución paso a paso
a) Crecimiento, decrecimiento y extremos
La función es:
\[
f(x)=\frac{\ln x}{x}.
\]
Para que exista \(\ln x\), debe cumplirse \(x>0\). Por tanto:
\[
D_f=(0,+\infty).
\]
Derivamos mediante la regla del cociente:
\[
f'(x)=\frac{\dfrac1x\cdot x-\ln x}{x^2}
=\frac{1-\ln x}{x^2}.
\]
Buscamos los puntos críticos:
\[
f'(x)=0
\Rightarrow
1-\ln x=0
\Rightarrow
\ln x=1
\Rightarrow
x=e.
\]
Como \(x^2>0\) en el dominio, el signo de \(f'\) depende de \(1-\ln x\):
- Si \(0
- Si \(x>e\), entonces \(\ln x>1\) y \(f'(x)<0\).
Por tanto, \(f\) es creciente en \((0,e)\) y decreciente en \((e,+\infty)\).
En \(x=e\), la derivada cambia de positiva a negativa, así que hay un máximo relativo:
\[
f(e)=\frac{\ln e}{e}=\frac1e.
\]
\[
\boxed{\text{Máximo relativo en }\left(e,\frac1e\right).}
\]
b) Signo y área
Factorizamos:
\[
g(x)=x^2-2x=x(x-2).
\]
Sus ceros son \(x=0\) y \(x=2\). En el intervalo \([1,3]\) solo aparece \(x=2\).
- En \([1,2)\), \(x>0\) y \(x-2<0\), luego \(g(x)<0\).
- En \(x=2\), \(g(2)=0\).
- En \((2,3]\), los dos factores son positivos, luego \(g(x)>0\).
Representación de (g(x)=x^2-2x)
En el intervalo \([1,2]\) la gráfica queda bajo el eje \(OX\); en \([2,3]\), queda por encima.
Calculamos primero la integral indefinida:
\[
\int(x^2-2x)\,dx
=\frac{x^3}{3}-x^2+C.
\]
El área es:
\[
A=-\int_1^2(x^2-2x)\,dx
+\int_2^3(x^2-2x)\,dx.
\]
Aplicamos la regla de Barrow al primer tramo:
\[
-\left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]_1^2
=-\left[\left(\frac83-4\right)-\left(\frac13-1\right)\right]
=\frac23.
\]
Para el segundo tramo:
\[
\left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]_2^3
=\left(9-9\right)-\left(\frac83-4\right)
=\frac43.
\]
Sumamos ambas áreas:
\[
\boxed{A=\frac23+\frac43=2\text{ unidades cuadradas}.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- El dominio debe estudiarse antes de derivar.
- El signo de la derivada determina los intervalos de monotonía.
- Un cambio de signo de positivo a negativo produce un máximo.
- Para calcular áreas hay que cambiar el signo de las integrales situadas bajo el eje OX.