E7 – Límite con radicales y primitiva logarítmica
Castilla y León · 2020 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Calcule:
\[
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{2x-1}}{1-x}.
\]
(1 punto) - Dada la función:
\[
f(x)=\frac{2x-e^{-x}}{x^2+e^{-x}},
\]
halle una primitiva \(F(x)\) que verifique \(F(0)=3\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
En el límite, la sustitución directa produce la indeterminación \(0/0\), por lo que podemos aplicar la regla de L'Hôpital.
En la integral, el numerador coincide exactamente con la derivada del denominador.
La condición \(F(0)=3\) permite determinar la constante de integración.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Indeterminación \(0/0\).
- Regla de L'Hôpital.
- Integral de tipo \(u'/u\).
- Primitiva con condición inicial.
🟢 Estrategia de resolución
En el apartado a), comprobamos la indeterminación, derivamos numerador y denominador y volvemos a sustituir.
En el apartado b), hacemos el cambio \(u=x^2+e^{-x}\).
Tras obtener la familia de primitivas, usamos \(F(0)=3\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Cálculo del límite mediante L'Hôpital
Al sustituir \(x=1\):
\[
\frac{\sqrt{1-1+1}-\sqrt{2-1}}{1-1}
=\frac{0}{0}.
\]
Aplicamos la regla de L'Hôpital. Derivamos el numerador:
\[
\frac{d}{dx}\sqrt{x^2-x+1}
=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}},
\]
\[
\frac{d}{dx}\sqrt{2x-1}
=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}.
\]
La derivada del denominador es:
\[
\frac{d}{dx}(1-x)=-1.
\]
Por tanto:
\[
\lim_{x\to1}
\frac{\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{2x-1}}{1-x}
=
\lim_{x\to1}
\frac{\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}}{-1}.
\]
Ahora sustituimos \(x=1\):
\[
\frac{\dfrac12-1}{-1}
=\frac{-\frac12}{-1}
=\boxed{\frac12}.
\]
b) Cálculo de la primitiva
Consideramos la integral indefinida:
\[
\int\frac{2x-e^{-x}}{x^2+e^{-x}}\,dx.
\]
Hacemos el cambio:
\[
u=x^2+e^{-x}.
\]
Entonces:
\[
du=(2x-e^{-x})\,dx.
\]
La integral se transforma en:
\[
\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C.
\]
Como \(x^2+e^{-x}>0\) para todo \(x\), podemos eliminar el valor absoluto:
\[
F(x)=\ln(x^2+e^{-x})+C.
\]
Aplicamos la condición \(F(0)=3\):
\[
F(0)=\ln(0^2+e^0)+C
=\ln1+C=C=3.
\]
Respuesta:
\[
\boxed{F(x)=\ln(x^2+e^{-x})+3.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Antes de aplicar L'Hôpital hay que comprobar la indeterminación.
- Las raíces se derivan mediante la regla de la cadena.
- Cuando aparece \(u'/u\), la primitiva es logarítmica.
- Una condición sobre la primitiva determina la constante.