Resuelve: \((\tan x-1)\bigl(4\sin(2x)-3\bigr)=0\)

Resolución paso a paso

Aplicamos la propiedad del producto nulo. Debemos resolver por separado los dos factores.

Primer factor:

\[
\tan x-1=0
\quad\Longrightarrow\quad
\tan x=1.
\]

Por tanto:

\[
x=45^\circ+180^\circ k.
\]

En una vuelta obtenemos \(45^\circ\) y \(225^\circ\).

Segundo factor:

\[
4\sin(2x)-3=0
\quad\Longrightarrow\quad
\sin(2x)=\frac34.
\]

Como \(\frac34\) no corresponde a un ángulo notable, definimos:

\[
\alpha=\arcsin\left(\frac34\right)\approx48{,}590^\circ.
\]

El seno es positivo en el primer y segundo cuadrante:

\[
2x=\alpha+360^\circ k
\quad\text{o}\quad
2x=180^\circ-\alpha+360^\circ k.
\]

Dividimos entre \(2\):

\[
x=\frac{\alpha}{2}+180^\circ k
\quad\text{o}\quad
x=90^\circ-\frac{\alpha}{2}+180^\circ k.
\]

Así, en una vuelta, este factor proporciona aproximadamente \(24{,}295^\circ\), \(65{,}705^\circ\), \(204{,}295^\circ\) y \(245{,}705^\circ\).

Soluciones en una vuelta:

\[
\boxed{x\approx24{,}295^\circ,\ 45^\circ,\ 65{,}705^\circ,\
204{,}295^\circ,\ 225^\circ,\ 245{,}705^\circ}.
\]