Resuelve: \(\sin(2x)\cos x=6\sin^3x\)

Resolución paso a paso

Usamos la identidad del seno del ángulo doble:

\[
\sin(2x)=2\sin x\cos x.
\]

Sustituimos y pasamos todos los términos al mismo miembro:

\[
2\sin x\cos^2x=6\sin^3x,
\]

\[
2\sin x\left(\cos^2x-3\sin^2x\right)=0.
\]

Un producto es cero cuando alguno de sus factores es cero.

Primer caso:

\[
\sin x=0
\quad\Longrightarrow\quad
x=k\pi.
\]

Segundo caso:

\[
\cos^2x=3\sin^2x.
\]

En este caso \(\cos x\neq0\), por lo que dividimos entre \(\cos^2x\):

\[
1=3\tan^2x
\quad\Longrightarrow\quad
\tan x=\pm\frac1{\sqrt3}.
\]

El ángulo de referencia es \(30^\circ\), con soluciones en los cuatro cuadrantes que corresponden a ambos signos.

Soluciones en una vuelta:

\[
\boxed{x\in\left\{0,\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\pi,
\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right\}}.
\]