Simplifica para que el resultado quede en función de log 2 y/o log 3: \(\log\left(\frac{2\cdot3\cdot(2\cdot3\cdot10)^{1/5}}{3^4\left(\frac{2\cdot3}{10}\right)^{1/2}}\right)\)

Resolución paso a paso

Aplicamos las propiedades del cociente, del producto y de la potencia:

\[
=\log2+\log3+\frac15(\log2+\log3+1)-4\log3-\frac12(\log2+\log3-1).
\]

Agrupamos los coeficientes de \(\log2\):

\[
1+\frac15-\frac12=\frac7{10}.
\]

Agrupamos los coeficientes de \(\log3\) y los términos constantes:

\[
1+\frac15-4-\frac12=-\frac{33}{10},\qquad \frac15+\frac12=\frac7{10}.
\]

Reunimos el resultado:

\[
=\frac7{10}\log2-\frac{33}{10}\log3+\frac7{10}.
\]

Resultado:

\[
\boxed{\frac7{10}\log2-\frac{33}{10}\log3+\frac7{10}}
\]