Helados para una residencia de estudiantes
Matemáticas 1 · 1º Bachillerato
Ficha del problema
Enunciado
En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de vainilla, chocolate y nata. El presupuesto es de 540 €, y cada helado cuesta 4 €, 5 € y 6 €, respectivamente. Entre los helados de chocolate y nata se compra un 20 % más que de vainilla. ¿Cuántos helados de cada sabor se compran?
🟠 Comprensión del enunciado
Hay tres cantidades desconocidas y tres relaciones: el número total de helados, el coste total y una proporción entre el grupo formado por chocolate y nata y los de vainilla.
🔵 Conceptos matemáticos
- Sistemas lineales de tres ecuaciones.
- Traducción de porcentajes a ecuaciones.
- Comprobación de una solución en su contexto.
🟢 Estrategia de resolución
Llamaremos \(v\), \(c\) y \(n\) a los helados de vainilla, chocolate y nata. Traduciremos las tres condiciones y resolveremos el sistema por sustitución.
🟣 Resolución paso a paso
1. Elección de incógnitas
Sean \(v\), \(c\) y \(n\) las cantidades de helados de vainilla, chocolate y nata.
2. Planteamiento
\[
\begin{cases}v+c+n=110\\4v+5c+6n=540\\c+n=1{,}2v\end{cases}
\]
3. Resolución
De la primera y la tercera ecuación:
\[
v+1{,}2v=110\Longrightarrow2{,}2v=110\Longrightarrow v=50
\]
Por tanto, \(c+n=60\). Sustituimos \(v=50\) en la ecuación del coste:
\[
200+5c+6n=540\Longrightarrow5c+6n=340
\]
Restamos cinco veces \(c+n=60\):
\[
(5c+6n)-(5c+5n)=340-300\Longrightarrow n=40
\]
\[
c=60-40=20
\]
4. Comprobación e interpretación
\[
50+20+40=110,\qquad4(50)+5(20)+6(40)=540
\]
Además, \(20+40=60=1{,}2\cdot50\).
Respuesta:
\[
\boxed{50\text{ de vainilla},\ 20\text{ de chocolate y }40\text{ de nata}}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Un 20 % más que una cantidad se expresa multiplicándola por \(1{,}2\).
- Una condición de recuento y otra de coste producen ecuaciones diferentes.
- La solución debe comprobar simultáneamente cantidad, presupuesto y proporción.