Resuelve: \(\begin{cases}\sin^2x+\cos^2y=\frac54\\\sin^2x-\cos^2y=\frac34\end{cases}\)

Resolución paso a paso

Consideramos \(\sin^2x\) y \(\cos^2y\) como incógnitas auxiliares.

Sumamos las ecuaciones:

\[
2\sin^2x=\frac54+\frac34=2
\quad\Longrightarrow\quad
\sin^2x=1.
\]

Por tanto:

\[
\sin x=\pm1
\quad\Longrightarrow\quad
x\in\left\{\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right\}.
\]

Restamos la segunda ecuación de la primera:

\[
2\cos^2y=\frac54-\frac34=\frac12
\quad\Longrightarrow\quad
\cos^2y=\frac14.
\]

Así:

\[
\cos y=\pm\frac12
\quad\Longrightarrow\quad
y\in\left\{\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},
\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right\}.
\]

Cualquier valor obtenido para \(x\) puede combinarse con cualquiera de los cuatro valores de \(y\), pues las ecuaciones solo contienen los cuadrados.

Soluciones en \(x,y\in[0,2\pi)\):

\[
\boxed{
x\in\left\{\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right\},
\qquad
y\in\left\{\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},
\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right\}
}.
\]

En total se obtienen \(2\cdot4=8\) pares ordenados.