Posiciones relativas de rectas
Aprende a clasificar dos rectas en el espacio: secantes, paralelas o cruzadas, con método claro y ejemplos tipo PAU.
Idea básica
Dos rectas en el espacio pueden ser secantes, paralelas o cruzadas. Para determinar su posición relativa utilizamos sus vectores directores y resolvemos un sistema de ecuaciones.
Tipos de posiciones relativas
- Secantes: se cortan en un punto.
- Paralelas: tienen la misma dirección pero no se cortan.
- Cruzadas: no se cortan ni son paralelas.
Método para estudiar posiciones relativas
1. Comparar vectores directores
Sean dos rectas con vectores directores:
\[ \vec{v}_1=(a_1,b_1,c_1), \quad \vec{v}_2=(a_2,b_2,c_2) \]
- Si son proporcionales → rectas paralelas
- Si no son proporcionales → pueden ser secantes o cruzadas
2. Resolver sistema
Igualamos las ecuaciones paramétricas de ambas rectas.
- Si tiene solución → secantes
- Si no tiene solución → cruzadas
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Qué debes recordar
- Primero comparar vectores directores
- Después resolver sistema
- Secantes → solución
- Cruzadas → sin solución
Ejemplo 1: Rectas secantes
\[ r: \begin{cases} x=1+t\\ y=2+t\\ z=t \end{cases} \quad s: \begin{cases} x=2-s\\ y=3\\ z=1+s \end{cases} \]
Vectores directores
\[ \vec{v}_r=(1,1,1), \quad \vec{v}_s=(-1,0,1) \]
No son proporcionales → no son paralelas.
Igualamos
\[ 1+t=2-s \]
\[ 2+t=3 \Rightarrow t=1 \]
\[ t=1 \Rightarrow s=0 \]
Hay solución → rectas secantes.
Ejemplo 2: Rectas paralelas
\[ r: \begin{cases} x=t\\ y=1+t\\ z=2+t \end{cases} \quad s: \begin{cases} x=1+2s\\ y=3+2s\\ z=4+2s \end{cases} \]
\[ \vec{v}_r=(1,1,1), \quad \vec{v}_s=(2,2,2) \]
Son proporcionales → rectas paralelas.
Ejemplo 3: Rectas cruzadas
\[ r: \begin{cases} x=1+t\\ y=2\\ z=t \end{cases} \quad s: \begin{cases} x=0\\ y=1+s\\ z=1 \end{cases} \]
No son paralelas.
Al resolver el sistema no hay solución → rectas cruzadas.
Cómo estudiar este tema
Sigue siempre el mismo orden: primero vectores directores, después sistema. No cambies el método. La clave está en automatizar el proceso.
Resumen final
- Comparar vectores → detectar paralelismo
- Resolver sistema → decidir si se cortan
- Secantes → solución
- Cruzadas → sin solución
- Paralelas → vectores proporcionales