Matemáticas II · Geometría · Tema 04

Posiciones relativas de dos rectas

Decide si dos rectas del espacio son coincidentes, paralelas, secantes o cruzadas mediante sus vectores directores, un sistema de parámetros o el producto mixto.

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En el espacio, dos rectas pueden no ser paralelas y tampoco cortarse

Esta es la diferencia esencial respecto del plano. Las rectas cruzadas tienen direcciones no proporcionales, pero no pertenecen a un mismo plano y no comparten ningún punto.

1Comparar vectores directores

2Resolver el sistema de intersección

3Aplicar el criterio de coplanaridad

Clasificación completa

Cuatro posiciones posibles

Coincidentes

Comparten todos sus puntos y sus directores son proporcionales.

Paralelas distintas

Sus directores son proporcionales, pero no comparten puntos.

Secantes

Comparten exactamente un punto.

Cruzadas

No son paralelas, no se cortan y no son coplanarias.

Procedimiento general

Cómo estudiar dos rectas

1. Compara directores

Comprueba si \(\vec v_r\) y \(\vec v_s\) son proporcionales.

\[ \vec v_r=\lambda\vec v_s \]

2. Si son proporcionales

Comprueba si un punto de una recta pertenece a la otra.

\[ \text{coincidentes o paralelas} \]

3. Si no son proporcionales

Iguala las ecuaciones paramétricas y estudia el sistema.

\[ \text{secantes o cruzadas} \]

Directores proporcionales

Rectas paralelas o coincidentes

Ejemplo 1 · Paralelas distintas

\[ r:(x,y,z)=(1,0,2)+t(2,-1,1) \]

\[ s:(x,y,z)=(0,1,0)+\mu(4,-2,2) \]

Los directores son proporcionales:

\[ (4,-2,2)=2(2,-1,1) \]

Comprobamos si \(B(0,1,0)\) pertenece a \(r\):

\[ 0=1+2t \Longrightarrow t=-\frac12 \]

\[ 0-t=\frac12\neq1 \]

\[ \boxed{r\parallel s,\quad r\neq s} \]

Misma dirección y un punto común

Rectas coincidentes

Ejemplo 2

\[ r:(x,y,z)=(1,0,2)+t(2,-1,1) \]

\[ s:(x,y,z)=(3,-1,3)+\mu(4,-2,2) \]

Los directores son proporcionales y:

\[ (3,-1,3) = (1,0,2)+1(2,-1,1) \]

\[ \boxed{r=s} \]

Sistema compatible

Rectas secantes

Ejemplo 3 · Punto de corte

\[ r:(x,y,z)=(1,0,0)+t(1,1,0) \]

\[ s:(x,y,z)=(0,1,0)+\mu(1,-1,0) \]

Igualamos coordenadas:

\[ \begin{cases} 1+t=\mu,\\ t=1-\mu,\\ 0=0. \end{cases} \]

\[ t=0, \qquad \mu=1 \]

\[ \boxed{r\cap s=\{(1,0,0)\}} \]

Sistema incompatible

Rectas cruzadas

Ejemplo 4

\[ r:(x,y,z)=(0,0,0)+t(1,0,0) \]

\[ s:(x,y,z)=(0,1,1)+\mu(0,1,0) \]

Los directores no son proporcionales. Al igualar:

\[ \begin{cases} t=0,\\ 0=1+\mu,\\ 0=1. \end{cases} \]

La tercera ecuación es imposible:

\[ \boxed{\text{Las rectas son cruzadas}} \]

Método alternativo

Criterio de coplanaridad mediante producto mixto

Sea \(A\in r\), \(B\in s\), con vectores directores \(\vec v_r,\vec v_s\). Las rectas son coplanarias cuando:

\[ \boxed{ [\overrightarrow{AB},\vec v_r,\vec v_s]=0} \]

Producto mixto nulo

Las rectas son coplanarias. Si los directores no son proporcionales, son secantes.

Producto mixto no nulo

Las rectas no son coplanarias y, por tanto, son cruzadas.

Ejemplo 5 · Verificación de rectas cruzadas

\[ A=(0,0,0), \qquad B=(0,1,1) \]

\[ \overrightarrow{AB}=(0,1,1), \quad \vec v_r=(1,0,0), \quad \vec v_s=(0,1,0) \]

\[ [\overrightarrow{AB},\vec v_r,\vec v_s] = \begin{vmatrix} 0&1&1\\ 1&0&0\\ 0&1&0 \end{vmatrix} = 1\neq0 \]

\[ \boxed{\text{No son coplanarias: son cruzadas}} \]

Resumen de decisión

Esquema de clasificación

Vectores directores	Puntos o sistema	Posición
Proporcionales	Comparten un punto	Coincidentes
Proporcionales	No comparten puntos	Paralelas distintas
No proporcionales	Sistema compatible	Secantes
No proporcionales	Sistema incompatible	Cruzadas

Biblioteca PAU

Practica posiciones relativas

Práctica recomendada:

En la biblioteca puedes localizar problemas de rectas secantes, paralelas y cruzadas, además de ejercicios que combinan posiciones relativas, ángulos y distancias.

Abrir la biblioteca PAU de Geometría →

Qué debes recordar

Primero compara direcciones; después busca puntos comunes

Los directores proporcionales conducen a rectas paralelas o coincidentes. Si no son proporcionales, el sistema o el producto mixto distingue entre secantes y cruzadas.

CoincidentesMisma dirección y puntos comunes.

ParalelasDirecciones proporcionales sin puntos comunes.

SecantesUn único punto común.

CruzadasNo paralelas, sin corte y no coplanarias.

Errores frecuentes

Concluir que no paralelas implica secantesEn el espacio también pueden ser cruzadas.

Usar el mismo parámetro en las dos rectasCada recta debe tener su propio parámetro.

Confundir coplanarias con coincidentesDos rectas secantes o paralelas también son coplanarias.

Resumen del tema

Dos rectas del espacio pueden ser coincidentes, paralelas, secantes o cruzadas. La comparación de directores y el estudio del sistema de parámetros ofrecen un método completo; el producto mixto permite decidir la coplanaridad.

Debes saber

Comparar vectores directores.
Comprobar pertenencia.
Resolver el sistema de corte.
Reconocer rectas cruzadas.
Aplicar el producto mixto.