E9 – Distribución normal del consumo de azúcar
Castilla y León · 2020 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
El consumo de azúcar en un determinado país, medido en kilogramos por persona y año, sigue una distribución normal de media \(15\) y desviación típica \(5\).
- ¿Qué porcentaje de personas consume menos de \(10\) kg de azúcar al año? (1 punto)
- ¿Qué porcentaje consume más de \(25\) kg de azúcar al año? (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Sea \(X\) el consumo anual de azúcar por persona. Entonces:
\[
X\sim N(15,5).
\]
Para usar la tabla de la normal estándar hay que tipificar mediante \(Z=(X-\mu)/\sigma\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
- Distribución normal.
- Tipificación.
- Simetría de la normal estándar.
- Probabilidades de cola.
🟢 Estrategia de resolución
Traducimos cada porcentaje a una probabilidad y tipificamos el valor correspondiente.
Cuando aparece un valor negativo de \(Z\), usamos la simetría de la distribución normal.
Al final multiplicamos las probabilidades por \(100\) para expresarlas como porcentajes.
🟣 Resolución paso a paso
La variable aleatoria es:
\[
X\sim N(15,5).
\]
Tipificamos mediante:
\[
Z=\frac{X-15}{5}.
\]
a) Consumo inferior a \(10\) kg
\[
P(X<10)
=P\left(Z<\frac{10-15}{5}\right)
=P(Z<-1).
\]
Por simetría:
\[
P(Z<-1)=P(Z>1)=1-P(Z\leq1).
\]
La tabla proporciona:
\[
P(Z\leq1)=0{,}8413.
\]
Por tanto:
\[
P(X<10)=1-0{,}8413=0{,}1587.
\]
\[
\boxed{15{,}87\%}
\]
b) Consumo superior a \(25\) kg
\[
P(X>25)
=P\left(Z>\frac{25-15}{5}\right)
=P(Z>2).
\]
Usamos la probabilidad complementaria:
\[
P(Z>2)=1-P(Z\leq2).
\]
De la tabla:
\[
P(Z\leq2)=0{,}9772.
\]
Así:
\[
P(X>25)=1-0{,}9772=0{,}0228.
\]
\[
\boxed{2{,}28\%}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Tipificar permite trabajar con la normal estándar.
- La simetría transforma probabilidades con valores negativos.
- Las probabilidades de cola derecha se calculan mediante el complementario.
- Una probabilidad decimal se convierte en porcentaje multiplicando por cien.