E9 – Participantes jóvenes en un torneo
Castilla y León · 2023 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
En un torneo de ajedrez, el \(50\%\) de los participantes son españoles, el \(30\%\) son europeos no españoles y el resto procede de fuera de Europa. No pasan de 40 años dos tercios de los españoles, la mitad de los europeos no españoles y un tercio de los no europeos.
- Indicar las seis probabilidades del enunciado. (0,6 puntos)
- Calcular la probabilidad de que un participante no tenga más de 40 años. (0,7 puntos)
- Sabiendo que no tiene más de 40 años, calcular la probabilidad de que sea español. (0,7 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Definimos \(E\): «es español», \(U\): «europeo no español», \(R\): «resto del mundo» y \(J\): «no tiene más de 40 años».
Los tres grupos de procedencia forman una partición.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
- Árbol de probabilidades.
- Probabilidad total.
- Teorema de Bayes.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Datos
\[
P(E)=\frac12,\quad P(U)=\frac3{10},\quad P(R)=\frac15,
\]
\[
P(J\mid E)=\frac23,\quad P(J\mid U)=\frac12,\quad P(J\mid R)=\frac13.
\]
b) Probabilidad total
\[
P(J)=\frac12\frac23+\frac3{10}\frac12+\frac15\frac13
=\frac13+\frac3{20}+\frac1{15}=\boxed{\frac{11}{20}=0{,}55}.
\]
c) Teorema de Bayes
\[
P(E\mid J)=\frac{P(E)P(J\mid E)}{P(J)}
=\frac{\frac12\frac23}{\frac{11}{20}}
=\boxed{\frac{20}{33}\approx0{,}6061}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Organizar una partición en un árbol evita confundir probabilidades simples y condicionadas.
- La probabilidad total combina todas las procedencias.
- Bayes invierte la condición usando la probabilidad total.