Resuelve: \(\sin x+\sin(3x)=\cos x\)

Resolución paso a paso

Aplicamos la fórmula de suma de senos:

\[
\sin A+\sin B
=2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)
\cos\left(\frac{A-B}{2}\right).
\]

Con \(A=x\) y \(B=3x\):

\[
\sin x+\sin(3x)=2\sin(2x)\cos x.
\]

La ecuación queda:

\[
2\sin(2x)\cos x=\cos x.
\]

Factorizamos sin dividir entre \(\cos x\):

\[
\cos x\bigl(2\sin(2x)-1\bigr)=0.
\]

Primer caso: \(\cos x=0\), de donde \(x=90^\circ,270^\circ\).

Segundo caso:

\[
\sin(2x)=\frac12.
\]

Entonces:

\[
2x=30^\circ+360^\circ k
\quad\text{o}\quad
2x=150^\circ+360^\circ k,
\]

\[
x=15^\circ+180^\circ k
\quad\text{o}\quad
x=75^\circ+180^\circ k.
\]

Soluciones en una vuelta:

\[
\boxed{x\in\left\{15^\circ,75^\circ,90^\circ,
195^\circ,255^\circ,270^\circ\right\}}.
\]