Resuelve: \(\begin{cases}x+y=\frac{\pi}{2}\\\sin x+\sin y=\frac{\sqrt6}{2}\end{cases}\)

Resolución paso a paso

Aplicamos la fórmula de suma de senos:

\[
\sin x+\sin y
=2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)
\cos\left(\frac{x-y}{2}\right).
\]

Como \(x+y=\frac{\pi}{2}\):

\[
2\sin\frac{\pi}{4}
\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)
=\frac{\sqrt6}{2}.
\]

Dado que \(2\sin\frac{\pi}{4}=\sqrt2\):

\[
\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)=\frac{\sqrt3}{2}.
\]

Como \(x\) e \(y\) son los ángulos principales no negativos cuya suma es \(\frac{\pi}{2}\):

\[
\frac{x-y}{2}=\pm\frac{\pi}{6}
\quad\Longrightarrow\quad
x-y=\pm\frac{\pi}{3}.
\]

Resolvemos junto con \(x+y=\frac{\pi}{2}\):

\[
\boxed{(x,y)\in\left\{
\left(\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}\right),
\left(\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{12}\right)
\right\}}.
\]