B5 – Tiro olímpico y probabilidad total
Castilla y León · 2019 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
En una competición de tiro olímpico hay 10 rifles: 4 con visor telescópico y 6 sin él. La probabilidad de hacer blanco es \(0{,}95\) con visor y \(0{,}65\) sin visor.
- Halle la probabilidad de hacer blanco escogiendo un rifle al azar. (1 punto)
- Si el tirador hace blanco, ¿es más probable que haya disparado con un rifle con visor o sin él? (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
El tipo de rifle forma una partición. La primera pregunta se resuelve con probabilidad total; la segunda, comparando dos probabilidades condicionadas posteriores.
🔵 Conceptos matemáticos
- Probabilidad total.
- Probabilidad condicionada.
- Teorema de Bayes.
- Diagrama de árbol.
🟢 Estrategia de resolución
Definimos los sucesos \(V\): «rifle con visor» y \(B\): «hacer blanco». Calculamos \(P(B)\) y después \(P(V\mid B)\) y \(P(\overline V\mid B)\).
🟣 Resolución paso a paso
Sean \(V=\) «usar un rifle con visor» y \(B=\) «hacer blanco».
\[
P(V)=\frac4{10}=0{,}4,
\qquad
P(\overline V)=\frac6{10}=0{,}6.
\]
\[
P(B\mid V)=0{,}95,
\qquad
P(B\mid\overline V)=0{,}65.
\]
a) Probabilidad de hacer blanco
Aplicamos el teorema de la probabilidad total:
\[
P(B)
=P(V)P(B\mid V)+P(\overline V)P(B\mid\overline V).
\]
\[
P(B)=0{,}4\cdot0{,}95+0{,}6\cdot0{,}65
=0{,}38+0{,}39
=\boxed{0{,}77}.
\]
b) Tipo de rifle sabiendo que ha hecho blanco
\[
P(V\mid B)
=\frac{P(V)P(B\mid V)}{P(B)}
=\frac{0{,}38}{0{,}77}
=\frac{38}{77}
\approx0{,}4935.
\]
\[
P(\overline V\mid B)
=\frac{P(\overline V)P(B\mid\overline V)}{P(B)}
=\frac{0{,}39}{0{,}77}
=\frac{39}{77}
\approx0{,}5065.
\]
Como \(0{,}5065>0{,}4935\):
\[
\boxed{\text{Es ligeramente más probable que haya utilizado un rifle sin visor}}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- La probabilidad total combina todas las formas posibles de hacer blanco.
- Después de observar el blanco cambian las probabilidades de cada tipo de rifle.
- Hay que comparar las dos probabilidades posteriores, no solo las probabilidades de acierto.