PropiaÁlgebraSistemas de ecuaciones no linealesDifícil
Resuelve: \(\begin{cases}\log x+\log y=2+2\log2\\\sqrt{x}-\sqrt{y}=1\end{cases}\)
Matemáticas 1 · 1º Bachillerato
Ficha del problema
Nivel
1º Bachillerato
Asignatura
Matemáticas 1
Bloque
Álgebra
Tema
Sistemas de ecuaciones no lineales
Fuente
Propia
Dificultad
Difícil
Tipo
Cálculo directo
Enunciado
Resuelve:
\[
\begin{cases}\log x+\log y=2+2\log2\\\sqrt{x}-\sqrt{y}=1\end{cases}
\]
🟣 Resolución paso a paso
Resolución paso a paso
El dominio exige \(x \gt 0\) e \(y \gt 0\). Agrupamos la primera ecuación:
\[
\log(xy)=\log100+\log4=\log400
\]
\[
xy=400
\]
Tomamos \(u=\sqrt{x} \gt 0\) y \(v=\sqrt{y} \gt 0\). Entonces \(uv=\sqrt{xy}=20\) y \(u-v=1\). Así, \(u=v+1\):
\[
v(v+1)=20\Longrightarrow v^2+v-20=0
\]
\[
(v-4)(v+5)=0
\]
Como \(v \gt 0\), \(v=4\), \(u=5\). Por tanto, \(x=u^2=25\) e \(y=v^2=16\).
Solución:
\[
\boxed{(x,y)=(25,16)}
\]