Matemáticas II · Geometría · Tema 07

Ángulos en el espacio

Aprende a calcular ángulos entre rectas, entre planos y entre una recta y un plano usando vectores directores y vectores normales.

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Elegir correctamente los vectores

Para las rectas se utilizan sus vectores directores. Para los planos se utilizan sus vectores normales. El objetivo es obtener siempre el ángulo menor entre los elementos geométricos.

1Elegir directores o normales

2Distinguir seno y coseno

3Reconocer paralelismo y perpendicularidad

Imagen original

Resumen visual de los tres tipos de ángulos

Resumen visual de los ángulos entre dos rectas, dos planos y una recta y un plano — Imagen original de la página: recta-recta, plano-plano y recta-plano. Se conserva centrada, sin recortes y respetando sus proporciones.

\[ \boxed{0^\circ\leq\alpha\leq90^\circ} \]

Se utiliza valor absoluto en los productos escalares para obtener el ángulo menor y evitar que la orientación elegida para los vectores cambie el resultado geométrico.

Qué vectores utilizar

Resumen de fórmulas

Recta — recta

Se utilizan los vectores directores.

\[ \cos\alpha= \frac{|\vec v_1\cdot\vec v_2|} {\|\vec v_1\|\,\|\vec v_2\|} \]

Plano — plano

Se utilizan los vectores normales.

\[ \cos\alpha= \frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|} {\|\vec n_1\|\,\|\vec n_2\|} \]

Recta — plano

Se utilizan el director de la recta y el normal del plano.

\[ \sin\alpha= \frac{|\vec v\cdot\vec n|} {\|\vec v\|\,\|\vec n\|} \]

Vectores directores

Ángulo entre dos rectas

Si las rectas tienen vectores directores \(\vec v_1=(a_1,b_1,c_1)\) y \(\vec v_2=(a_2,b_2,c_2)\), entonces:

\[ \boxed{ \cos\alpha= \frac{|\vec v_1\cdot\vec v_2|} {\|\vec v_1\|\,\|\vec v_2\|}} \]

Ejemplo 1 · Ángulo entre dos rectas

\[ \vec v_1=(1,2,2), \qquad \vec v_2=(2,0,1) \]

Producto escalar:

\[ \vec v_1\cdot\vec v_2 = 1\cdot2+2\cdot0+2\cdot1 = 4 \]

Módulos:

\[ \|\vec v_1\| = \sqrt{1^2+2^2+2^2} = 3 \]

\[ \|\vec v_2\| = \sqrt{2^2+0^2+1^2} = \sqrt5 \]

Ángulo:

\[ \cos\alpha=\frac4{3\sqrt5} \]

\[ \boxed{ \alpha= \arccos\left(\frac4{3\sqrt5}\right)} \]

Vectores normales

Ángulo entre dos planos

Si:

\[ \pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \]

\[ \pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0, \]

sus vectores normales son:

\[ \vec n_1=(A_1,B_1,C_1), \qquad \vec n_2=(A_2,B_2,C_2) \]

\[ \boxed{ \cos\alpha= \frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|} {\|\vec n_1\|\,\|\vec n_2\|}} \]

Ejemplo 2 · Ángulo entre dos planos

\[ \pi_1:x+2y+2z-3=0 \]

\[ \pi_2:2x+y+2z+1=0 \]

\[ \vec n_1=(1,2,2), \qquad \vec n_2=(2,1,2) \]

\[ \vec n_1\cdot\vec n_2 = 1\cdot2+2\cdot1+2\cdot2 = 8 \]

\[ \|\vec n_1\|=3, \qquad \|\vec n_2\|=3 \]

\[ \cos\alpha=\frac89 \]

\[ \boxed{\alpha=\arccos\left(\frac89\right)} \]

Ángulo complementario

Ángulo entre una recta y un plano

Este caso utiliza el seno porque el vector normal es perpendicular al plano. El ángulo buscado es el complementario del ángulo entre el director y el normal.

\[ \boxed{ \sin\alpha= \frac{|\vec v\cdot\vec n|} {\|\vec v\|\,\|\vec n\|}} \]

Ejemplo 3 · Ángulo entre recta y plano

\[ \vec v=(1,2,2) \]

\[ \pi:2x-y+2z+1=0 \]

\[ \vec n=(2,-1,2) \]

\[ \vec v\cdot\vec n = 1\cdot2+2\cdot(-1)+2\cdot2 = 4 \]

\[ \|\vec v\|=3, \qquad \|\vec n\|=3 \]

\[ \sin\alpha=\frac49 \]

\[ \boxed{\alpha=\arcsin\left(\frac49\right)} \]

Resultados inmediatos

Casos particulares importantes

Dos rectas perpendiculares

\[ \vec v_1\cdot\vec v_2=0 \]

Sus vectores directores son perpendiculares.

Dos planos perpendiculares

\[ \vec n_1\cdot\vec n_2=0 \]

Sus vectores normales son perpendiculares.

Recta paralela a un plano

\[ \vec v\cdot\vec n=0 \]

El director es perpendicular al normal del plano.

Recta perpendicular a un plano

\[ \vec v=\lambda\vec n \]

El director de la recta es proporcional al normal del plano.

Dos rectas paralelas

\[ \vec v_1=\lambda\vec v_2 \]

El ángulo entre sus direcciones es \(0^\circ\).

Dos planos paralelos

\[ \vec n_1=\lambda\vec n_2 \]

El ángulo entre los planos es \(0^\circ\).

Guion de resolución

Cómo abordar un ejercicio de ángulos

Paso 1Elementos

Identifica la pareja

Recta-recta, plano-plano o recta-plano.

Paso 2Vectores

Extrae directores o normales

Comprueba que los vectores elegidos sean no nulos.

Paso 3Fórmula

Elige seno o coseno

Usa valor absoluto y expresa el resultado en grados.

Biblioteca PAU

Practica ángulos del espacio

Práctica recomendada:

En la biblioteca de Geometría puedes localizar problemas que combinan ángulos con posiciones relativas, construcción de planos y distancias.

Abrir la biblioteca PAU de Geometría →

Qué debes recordar

Recta-recta y plano-plano usan coseno; recta-plano usa seno

El valor absoluto garantiza que el resultado no dependa del sentido elegido para los vectores y permite obtener siempre el ángulo menor.

Recta-rectaCoseno entre directores.

Plano-planoCoseno entre normales.

Recta-planoSeno entre director y normal.

ÁnguloSiempre entre \(0^\circ\) y \(90^\circ\).

Errores frecuentes

Usar coseno en recta-planoEl ángulo buscado es complementario y se calcula mediante el seno.

Olvidar el valor absolutoEl signo depende del sentido elegido para los vectores, no del ángulo geométrico.

Confundir director y normalLas rectas aportan directores y los planos aportan normales.

Resumen del tema

Los ángulos del espacio se reducen a ángulos entre vectores. Entre rectas se comparan directores; entre planos, normales; y entre recta y plano se utiliza el seno del ángulo entre el director y el normal.

Debes saber

Extraer directores y normales.
Calcular productos escalares.
Calcular módulos con doble barra.
Distinguir seno y coseno.
Reconocer casos particulares.