Ángulos en el espacio
Aprende a calcular ángulos entre rectas, entre planos y entre recta y plano usando vectores directores y vectores normales.
Idea básica
En geometría del espacio, los ángulos se calculan usando vectores. Para las rectas usamos sus vectores directores. Para los planos usamos sus vectores normales. La clave es saber qué vectores elegir en cada caso.
Figura 1. Resumen visual de los tres tipos de ángulos en el espacio que aparecen en Matemáticas II. Antes de comenzar un ejercicio, identifica qué elementos intervienen para elegir la fórmula correcta.
1. Ángulo entre dos rectas
Para calcular el ángulo entre dos rectas, usamos sus vectores directores.
Si:
\[ \vec{v}_1=(a_1,b_1,c_1), \qquad \vec{v}_2=(a_2,b_2,c_2) \]
entonces:
\[ \cos\alpha=\frac{|\vec{v}_1\cdot\vec{v}_2|}{|\vec{v}_1|\cdot|\vec{v}_2|} \]
Usamos valor absoluto para obtener el ángulo menor entre las dos rectas.
Ejemplo 1: ángulo entre dos rectas
Sean las rectas con vectores directores:
\[ \vec{v}_1=(1,2,2), \qquad \vec{v}_2=(2,0,1) \]
Calculamos el producto escalar:
\[ \vec{v}_1\cdot\vec{v}_2=1\cdot2+2\cdot0+2\cdot1=4 \]
Calculamos los módulos:
\[ |\vec{v}_1|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3 \]
\[ |\vec{v}_2|=\sqrt{2^2+0^2+1^2}=\sqrt5 \]
Entonces:
\[ \cos\alpha=\frac{4}{3\sqrt5} \]
Por tanto:
\[ \alpha=\arccos\left(\frac{4}{3\sqrt5}\right) \]
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2. Ángulo entre dos planos
Para calcular el ángulo entre dos planos, usamos sus vectores normales.
Si los planos son:
\[ \pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \]
\[ \pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \]
sus vectores normales son:
\[ \vec{n}_1=(A_1,B_1,C_1), \qquad \vec{n}_2=(A_2,B_2,C_2) \]
El ángulo entre los planos se calcula mediante:
\[ \cos\alpha=\frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\cdot|\vec{n}_2|} \]
Ejemplo 2: ángulo entre dos planos
Sean los planos:
\[ \pi_1:x+2y+2z-3=0 \]
\[ \pi_2:2x+y+2z+1=0 \]
Sus vectores normales son:
\[ \vec{n}_1=(1,2,2), \qquad \vec{n}_2=(2,1,2) \]
Producto escalar:
\[ \vec{n}_1\cdot\vec{n}_2=1\cdot2+2\cdot1+2\cdot2=8 \]
Módulos:
\[ |\vec{n}_1|=3,\qquad |\vec{n}_2|=3 \]
Entonces:
\[ \cos\alpha=\frac{8}{9} \]
Por tanto:
\[ \alpha=\arccos\left(\frac{8}{9}\right) \]
3. Ángulo entre una recta y un plano
Este caso es el más delicado. El ángulo entre una recta y un plano no se calcula directamente con el vector normal, sino con su complementario.
Si la recta tiene vector director:
\[ \vec{v}=(a,b,c) \]
y el plano tiene vector normal:
\[ \vec{n}=(A,B,C) \]
entonces:
\[ \sin\alpha=\frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\cdot|\vec{n}|} \]
donde \(\alpha\) es el ángulo entre la recta y el plano.
Qué debes recordar
Ejemplo 3: ángulo entre recta y plano
Sea la recta con vector director:
\[ \vec{v}=(1,2,2) \]
y el plano:
\[ \pi:2x-y+2z+1=0 \]
El vector normal del plano es:
\[ \vec{n}=(2,-1,2) \]
Producto escalar:
\[ \vec{v}\cdot\vec{n}=1\cdot2+2\cdot(-1)+2\cdot2=4 \]
Módulos:
\[ |\vec{v}|=3,\qquad |\vec{n}|=3 \]
Entonces:
\[ \sin\alpha=\frac{4}{9} \]
Por tanto:
\[ \alpha=\arcsin\left(\frac{4}{9}\right) \]
Casos particulares importantes
- Si dos rectas son perpendiculares, sus vectores directores tienen producto escalar 0.
- Si dos planos son perpendiculares, sus vectores normales tienen producto escalar 0.
- Si una recta es paralela a un plano, el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano.
- Si una recta es perpendicular a un plano, su vector director es proporcional al vector normal del plano.
Cómo estudiar este tema
Antes de aplicar una fórmula, identifica qué elementos intervienen: dos rectas, dos planos o una recta y un plano. Después elige los vectores adecuados. El error más frecuente es usar coseno en el caso recta-plano, cuando realmente se trabaja con el seno del ángulo.
Resumen final
- Entre dos rectas se usan sus vectores directores.
- Entre dos planos se usan sus vectores normales.
- Entre recta y plano se usa el vector director de la recta y el normal del plano.
- Recta-recta y plano-plano usan coseno.
- Recta-plano usa seno.