Matemáticas II · Geometría · Tema 08

Distancias en el espacio

Aprende a calcular distancias entre puntos, rectas y planos usando módulos, productos vectoriales, productos mixtos y fórmulas métricas.

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La distancia es siempre la separación mínima

Antes de aplicar una fórmula hay que estudiar la posición relativa. Muchas distancias son cero porque los elementos se cortan, coinciden o están contenidos.

1Identificar los elementos geométricos

2Estudiar su posición relativa

3Elegir la fórmula adecuada

Mapa de fórmulas

Resumen de distancias

Entre dos puntos

\[ d(A,B)=\|\overrightarrow{AB}\| \]

De un punto a una recta

\[ d(P,r)= \frac{\|\overrightarrow{AP}\times\vec v\|} {\|\vec v\|} \]

De un punto a un plano

\[ d(P,\pi)= \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \]

Entre rectas cruzadas

\[ d(r,s)= \frac{ \left| [\overrightarrow{AB},\vec v_r,\vec v_s] \right|} {\|\vec v_r\times\vec v_s\|} \]

Entre planos paralelos

Se toma un punto de un plano y se calcula su distancia al otro.

\[ P\in\pi_1 \Longrightarrow d(\pi_1,\pi_2)=d(P,\pi_2) \]

Entre recta y plano paralelos

Se toma un punto de la recta y se calcula su distancia al plano.

\[ P\in r \Longrightarrow d(r,\pi)=d(P,\pi) \]

Antes de calcular

Qué debes comprobar

Puntos

Calcula el vector que une los dos puntos y después su módulo.

Rectas

Comprueba si son secantes, paralelas o cruzadas.

Planos

Comprueba si son secantes, coincidentes o paralelos distintos.

Módulo de un vector

Distancia entre dos puntos

\[ \boxed{ d(A,B)= \sqrt{ (x_2-x_1)^2+ (y_2-y_1)^2+ (z_2-z_1)^2}} \]

Ejemplo 1

\[ A(1,2,-1), \qquad B(4,0,3) \]

\[ \overrightarrow{AB} = (4-1,0-2,3-(-1)) = (3,-2,4) \]

\[ \begin{aligned} d(A,B) &= \|\overrightarrow{AB}\|\\ &= \sqrt{3^2+(-2)^2+4^2}\\ &= \boxed{\sqrt{29}} \end{aligned} \]

Altura de un paralelogramo

Distancia de un punto a una recta

Sea \(A\in r\), \(\vec v\) un vector director de \(r\) y \(P\) el punto exterior.

\[ \boxed{ d(P,r)= \frac{\|\overrightarrow{AP}\times\vec v\|} {\|\vec v\|}} \]

El numerador es el área del paralelogramo formado por \(\overrightarrow{AP}\) y \(\vec v\); al dividir por la base se obtiene su altura.

Ejemplo 2

\[ P(1,1,1), \qquad r: \begin{cases} x=t,\\ y=0,\\ z=0 \end{cases} \]

\[ A(0,0,0), \qquad \vec v=(1,0,0) \]

\[ \overrightarrow{AP}=(1,1,1) \]

\[ \overrightarrow{AP}\times\vec v = (1,1,1)\times(1,0,0) = (0,1,-1) \]

\[ \|\overrightarrow{AP}\times\vec v\| = \sqrt2, \qquad \|\vec v\|=1 \]

\[ \boxed{d(P,r)=\sqrt2} \]

Ecuación general

Distancia de un punto a un plano

\[ \pi:Ax+By+Cz+D=0, \qquad P(x_0,y_0,z_0) \]

\[ \boxed{ d(P,\pi)= \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}}} \]

Ejemplo 3

\[ P(1,2,3), \qquad \pi:2x-y+2z-5=0 \]

\[ d(P,\pi) = \frac{|2\cdot1-2+2\cdot3-5|} {\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} \]

\[ d(P,\pi) = \frac{|2-2+6-5|}{\sqrt9} = \boxed{\frac13} \]

Según su posición relativa

Distancia entre dos rectas

Rectas secantes

Comparten un punto.

\[ \boxed{d(r,s)=0} \]

Rectas paralelas

Se reduce a la distancia de un punto de una recta a la otra.

\[ \boxed{ P\in s \Longrightarrow d(r,s)=d(P,r)} \]

Rectas cruzadas

Se utiliza el producto mixto.

\[ d(r,s)= \frac{ |\overrightarrow{AB}\cdot (\vec v_r\times\vec v_s)| } {\|\vec v_r\times\vec v_s\|} \]

Ejemplo 4 · Rectas paralelas

\[ r: \begin{cases} x=t,\\ y=0,\\ z=0 \end{cases} \qquad s: \begin{cases} x=t,\\ y=2,\\ z=0 \end{cases} \]

Ambas tienen director \(\vec v=(1,0,0)\). Tomamos:

\[ P(0,2,0)\in s \]

Como \(r\) es el eje \(x\), la separación perpendicular es:

\[ \boxed{d(r,s)=2} \]

Ejemplo 5 · Rectas cruzadas

\[ r: \begin{cases} x=t,\\ y=0,\\ z=0 \end{cases} \qquad s: \begin{cases} x=0,\\ y=1+\lambda,\\ z=1 \end{cases} \]

\[ A(0,0,0)\in r, \qquad B(0,1,1)\in s \]

\[ \vec v_r=(1,0,0), \qquad \vec v_s=(0,1,0) \]

\[ \overrightarrow{AB}=(0,1,1) \]

\[ \vec v_r\times\vec v_s = (0,0,1) \]

\[ \overrightarrow{AB}\cdot (\vec v_r\times\vec v_s) = 1 \]

\[ \|\vec v_r\times\vec v_s\|=1 \]

\[ \boxed{d(r,s)=1} \]

Secantes, coincidentes o paralelos

Distancia entre dos planos

Secantes o coincidentes

\[ \boxed{d(\pi_1,\pi_2)=0} \]

Paralelos distintos

\[ P\in\pi_1 \Longrightarrow d(\pi_1,\pi_2)=d(P,\pi_2) \]

Ejemplo 6 · Planos paralelos

\[ \pi_1:x+y+z-1=0 \]

\[ \pi_2:x+y+z-4=0 \]

Ambos tienen normal \(\vec n=(1,1,1)\). Tomamos \(P(1,0,0)\in\pi_1\):

\[ d(\pi_1,\pi_2) = d(P,\pi_2) = \frac{|1+0+0-4|} {\sqrt{1^2+1^2+1^2}} \]

\[ d(\pi_1,\pi_2) = \frac3{\sqrt3} = \boxed{\sqrt3} \]

Estudiar antes la posición

Distancia entre una recta y un plano

Secante o contenida

\[ \boxed{d(r,\pi)=0} \]

Paralela

\[ P\in r \Longrightarrow d(r,\pi)=d(P,\pi) \]

Ejemplo 7 · Recta paralela a un plano

\[ r: \begin{cases} x=t,\\ y=1+t,\\ z=2 \end{cases} \qquad \pi:x-y+2=0 \]

Tomamos \(P(0,1,2)\in r\):

\[ d(r,\pi) = d(P,\pi) = \frac{|0-1+2|} {\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}} \]

\[ \boxed{d(r,\pi)=\frac1{\sqrt2}} \]

Guion de resolución

Cómo abordar un ejercicio de distancias

Paso 1Posición

Estudia la configuración

Decide si los elementos se cortan, coinciden, son paralelos o se cruzan.

Paso 2Reducción

Busca un punto adecuado

Muchas distancias se reducen a punto-recta o punto-plano.

Paso 3Fórmula

Calcula y simplifica

Comprueba que el resultado sea no negativo y tenga sentido geométrico.

Biblioteca PAU

Practica distancias del espacio

Práctica recomendada:

En la biblioteca de Geometría puedes localizar problemas de distancias, posiciones relativas, simetrías, áreas y volúmenes de exámenes oficiales.

Abrir la biblioteca PAU de Geometría →

Qué debes recordar

Primero estudia la posición relativa

Las distancias entre elementos que se cortan, coinciden o están contenidos son cero. Cuando son paralelos, el problema suele reducirse a la distancia de un punto al otro elemento.

Punto-rectaProducto vectorial.

Punto-planoEcuación general.

Rectas cruzadasProducto mixto.

ParalelismoReduce a punto-recta o punto-plano.

Errores frecuentes

Aplicar una fórmula sin estudiar la posiciónLa distancia puede ser cero o exigir una fórmula distinta.

No indicar de qué recta se toma el puntoEn rectas paralelas, debe quedar claro que \(P\in s\) para calcular \(d(P,r)\).

Confundir módulo y determinanteLos módulos vectoriales se escriben con doble barra: \(\|\vec v\|\).

Resumen del tema

Las distancias del espacio se calculan mediante módulos, productos vectoriales, productos mixtos y la ecuación general del plano. La elección de la fórmula depende siempre de la posición relativa.

Debes saber

Calcular distancia entre puntos.
Aplicar punto-recta.
Aplicar punto-plano.
Trabajar con rectas paralelas y cruzadas.
Reducir distancias entre planos y recta-plano.