Posición relativa de recta y plano
Aprende a estudiar si una recta corta a un plano, es paralela a él o está contenida en el plano.
Idea básica
Una recta y un plano pueden tener tres posiciones relativas: la recta puede cortar al plano en un punto, puede ser paralela al plano o puede estar contenida en él. Para decidirlo, sustituimos la recta en la ecuación del plano.
Tipos de posiciones relativas
1. Recta secante al plano
La recta corta al plano en un único punto.
2. Recta paralela al plano
La recta y el plano no tienen ningún punto en común.
3. Recta contenida en el plano
Todos los puntos de la recta pertenecen al plano.
Representación visual
Secante
Un único punto común.
Paralela
No tiene puntos comunes con el plano.
Contenida
Todos los puntos de la recta están en el plano.
Método principal: sustituir la recta en el plano
Sea una recta dada en forma paramétrica:
\[ r: \begin{cases} x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct \end{cases} \]
y un plano:
\[ \pi:Ax+By+Cz+D=0 \]
Sustituimos las expresiones de \(x\), \(y\) y \(z\) de la recta en la ecuación del plano.
Cómo interpretar el resultado
- Si aparece un valor único de \(t\), la recta es secante al plano.
- Si aparece una contradicción, como \(0=5\), la recta es paralela al plano.
- Si aparece una identidad, como \(0=0\), la recta está contenida en el plano.
Ejemplo 1: recta secante al plano
Estudia la posición relativa de:
\[ r: \begin{cases} x=1+t\\ y=2-t\\ z=3t \end{cases} \]
y el plano:
\[ \pi:x+y+z-5=0 \]
Sustituimos la recta en el plano
\[ (1+t)+(2-t)+3t-5=0 \]
\[ 3t-2=0 \]
\[ t=\frac{2}{3} \]
Como obtenemos un único valor de \(t\), la recta y el plano son secantes.
Punto de corte
Sustituimos \(t=\frac{2}{3}\) en la recta:
\[ x=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3} \]
\[ y=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3} \]
\[ z=3\cdot \frac{2}{3}=2 \]
Por tanto, el punto de corte es:
\[ P\left(\frac{5}{3},\frac{4}{3},2\right) \]
Ejemplo 2: recta paralela al plano
Estudia la posición relativa de:
\[ r: \begin{cases} x=1+t\\ y=2-t\\ z=1 \end{cases} \]
y el plano:
\[ \pi:x+y+z-5=0 \]
Sustituimos
\[ (1+t)+(2-t)+1-5=0 \]
\[ -1=0 \]
Esto es una contradicción. Por tanto, la recta no tiene ningún punto común con el plano.
La recta es paralela al plano.
Ejemplo 3: recta contenida en el plano
Estudia la posición relativa de:
\[ r: \begin{cases} x=1+t\\ y=2-t\\ z=2 \end{cases} \]
y el plano:
\[ \pi:x+y+z-5=0 \]
Sustituimos
\[ (1+t)+(2-t)+2-5=0 \]
\[ 0=0 \]
Esto es una identidad. Se cumple para cualquier valor de \(t\).
Por tanto, todos los puntos de la recta pertenecen al plano y la recta está contenida en el plano.
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Método alternativo con vector director y vector normal
También podemos estudiar la posición relativa usando el vector director de la recta y el vector normal del plano.
Si:
\[ \vec{v}_r=(a,b,c) \]
es el vector director de la recta, y:
\[ \vec{n}_\pi=(A,B,C) \]
es el vector normal del plano, calculamos:
\[ \vec{v}_r\cdot \vec{n}_\pi \]
- Si \(\vec{v}_r\cdot \vec{n}_\pi \neq 0\), la recta es secante al plano.
- Si \(\vec{v}_r\cdot \vec{n}_\pi = 0\), la recta es paralela al plano o está contenida en él.
Para distinguir los dos últimos casos, comprobamos si un punto de la recta pertenece al plano.
Resumen del método vectorial
- \(\vec{v}_r\cdot \vec{n}_\pi \neq 0\): recta secante al plano.
- \(\vec{v}_r\cdot \vec{n}_\pi = 0\) y un punto de \(r\) pertenece a \(\pi\): recta contenida.
- \(\vec{v}_r\cdot \vec{n}_\pi = 0\) y un punto de \(r\) no pertenece a \(\pi\): recta paralela.
Cómo estudiar este tema
El método más directo es sustituir la recta en el plano. Después puedes usar el método vectorial para comprobar resultados y entender mejor la geometría: el producto escalar indica si la dirección de la recta atraviesa el plano o queda paralela a él.
Resumen final
- Una recta y un plano pueden ser secantes, paralelos o estar contenidos.
- Si al sustituir aparece un valor único de \(t\), se cortan en un punto.
- Si aparece una contradicción, la recta es paralela al plano.
- Si aparece una identidad, la recta está contenida en el plano.
- El producto escalar entre vector director y vector normal ayuda a interpretar la posición relativa.