Matemáticas II · Geometría · Tema 06

Posición relativa de recta y plano

Aprende a decidir si una recta corta a un plano, es paralela a él o está contenida, utilizando sustitución paramétrica y criterios vectoriales.

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Una sustitución permite ver toda la geometría

Al introducir las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano aparece una ecuación en el parámetro. Su resultado distingue las tres posiciones posibles.

1Sustituir la recta en el plano
2Interpretar valor, contradicción o identidad
3Comprobar con director y normal
01
Clasificación

Tres posiciones relativas

Recta secante

La recta y el plano comparten un único punto.

\[ r\cap\pi=\{P\} \]

Recta paralela

No existe ningún punto común entre la recta y el plano.

\[ r\cap\pi=\varnothing \]

Recta contenida

Todos los puntos de la recta pertenecen al plano.

\[ r\subset\pi \]
02
Representación visual

Cómo se sitúa la recta respecto del plano

Estas ilustraciones están construidas directamente con código SVG para que se mantengan nítidas en cualquier tamaño de pantalla.

Recta secante a un plano Una recta roja atraviesa un plano verde en un único punto. π r P
Recta secante Un único punto común: \(r\cap\pi=\{P\}\).
Recta paralela a un plano Una recta roja se sitúa por encima de un plano verde sin cortarlo. π r
Recta paralela No existe ningún punto común: \(r\cap\pi=\varnothing\).
Recta contenida en un plano Una recta roja se encuentra completamente dibujada sobre un plano verde. π r
Recta contenida Todos sus puntos pertenecen al plano: \(r\subset\pi\).
03
Método principal

Sustituir la recta en el plano

\[ r: \begin{cases} x=x_0+at,\\ y=y_0+bt,\\ z=z_0+ct \end{cases} \]
\[ \pi:Ax+By+Cz+D=0 \]

Sustituimos \(x\), \(y\) y \(z\) de la recta en la ecuación del plano.

1Valor único de \(t\)La recta es secante y se obtiene el punto de corte.
2ContradicciónLa recta es paralela y no tiene puntos comunes.
3IdentidadLa recta está contenida y todos sus puntos cumplen la ecuación.
04
Un único parámetro

Ejemplo de recta secante

Ejemplo 1
\[ r: \begin{cases} x=1+t,\\ y=2-t,\\ z=3t \end{cases} \qquad \pi:x+y+z-5=0 \]

Sustituimos:

\[ (1+t)+(2-t)+3t-5=0 \]
\[ 3t-2=0 \Longrightarrow t=\frac23 \]

Punto de corte:

\[ x=1+\frac23=\frac53, \qquad y=2-\frac23=\frac43, \qquad z=3\cdot\frac23=2 \]
\[ \boxed{ r\cap\pi= \left\{ \left(\frac53,\frac43,2\right) \right\}} \]
05
Contradicción

Ejemplo de recta paralela

Ejemplo 2
\[ r: \begin{cases} x=1+t,\\ y=2-t,\\ z=1 \end{cases} \qquad \pi:x+y+z-5=0 \]
\[ (1+t)+(2-t)+1-5=0 \]
\[ -1=0 \]
\[ \boxed{r\parallel\pi,\qquad r\not\subset\pi} \]
06
Identidad

Ejemplo de recta contenida

Ejemplo 3
\[ r: \begin{cases} x=1+t,\\ y=2-t,\\ z=2 \end{cases} \qquad \pi:x+y+z-5=0 \]
\[ (1+t)+(2-t)+2-5=0 \]
\[ 0=0 \]
\[ \boxed{r\subset\pi} \]
07
Método alternativo

Vector director y vector normal

\[ \vec v_r=(a,b,c), \qquad \vec n_\pi=(A,B,C) \]

Producto no nulo

\[ \vec v_r\cdot\vec n_\pi\neq0 \]

La dirección atraviesa el plano y la recta es secante.

Producto nulo y punto exterior

\[ \vec v_r\cdot\vec n_\pi=0 \]

La recta es paralela al plano.

Producto nulo y punto contenido

\[ \vec v_r\cdot\vec n_\pi=0 \]

La recta completa está contenida en el plano.

i Cuando el producto escalar es cero, hay que comprobar un punto de la recta para distinguir paralelismo y contención.
08
Verificación vectorial

Comprobar los ejemplos anteriores

Ejemplo secante

\[ \vec v_r=(1,-1,3), \qquad \vec n_\pi=(1,1,1) \]
\[ \vec v_r\cdot\vec n_\pi = 1-1+3 = 3\neq0 \]

Ejemplos paralelo y contenido

\[ \vec v_r=(1,-1,0) \]
\[ \vec v_r\cdot\vec n_\pi = 1-1+0 = 0 \]

La pertenencia de un punto distingue ambos casos.

09
Discusión según un parámetro

Recta y plano con parámetro

Ejemplo 4
\[ r: \begin{cases} x=1+t,\\ y=at,\\ z=2-t \end{cases} \qquad \pi:x+y+z-3=0 \]

Sustituimos:

\[ (1+t)+at+(2-t)-3=0 \]
\[ at=0 \]

Si \(a\neq0\)

\[ t=0 \]

Existe un único punto de corte: la recta es secante.

Si \(a=0\)

\[ 0=0 \]

La identidad se cumple para todo \(t\): la recta está contenida.

10
Biblioteca PAU

Practica recta y plano

Práctica recomendada:

En la biblioteca puedes localizar ejercicios de recta y plano con parámetros, puntos de corte, paralelismo y perpendicularidad.

Abrir la biblioteca PAU de Geometría →
Qué debes recordar

Valor, contradicción o identidad

Un valor único del parámetro indica secante; una contradicción indica paralela; una identidad indica que la recta está contenida en el plano.

SecanteUn único punto común.
ParalelaNingún punto común.
ContenidaTodos los puntos pertenecen al plano.
VectorialUsa \(\vec v_r\cdot\vec n_\pi\).

Errores frecuentes

Concluir contenida solo con producto nuloTambién puede ser paralela; hay que comprobar un punto.
No calcular el punto de corteSi aparece un valor de \(t\), debe sustituirse en la recta.
Confundir contradicción e identidad\(0=c\neq0\) significa paralela; \(0=0\) significa contenida.

Resumen del tema

La posición relativa de una recta y un plano se estudia sustituyendo las ecuaciones paramétricas en la ecuación del plano. El producto escalar entre director y normal proporciona una interpretación vectorial.

Debes saber

  • Sustituir correctamente.
  • Interpretar la ecuación en \(t\).
  • Calcular el punto de corte.
  • Comparar director y normal.
  • Discutir parámetros.
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