Matemáticas II · Geometría · Tema 05

Posiciones relativas de planos

Aprende a estudiar la posición de dos y tres planos mediante vectores normales, sistemas de ecuaciones y comparación de rangos.

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Normales para dos planos y rangos para tres planos

Dos planos se comparan mediante sus vectores normales. Cuando intervienen tres planos, el sistema formado por sus ecuaciones permite interpretar la configuración geométrica mediante los rangos de \(A\) y \(A^*\).

1Distinguir secantes, paralelos y coincidentes
2Construir \(A\) y \(A^*\)
3Interpretar los rangos geométricamente
01
Dos ecuaciones generales

Posiciones relativas de dos planos

Planos secantes

Sus normales no son proporcionales y se cortan en una recta.

\[ \vec n_1\not\parallel\vec n_2 \]

Planos paralelos distintos

Sus normales son proporcionales, pero las ecuaciones completas no lo son.

\[ \vec n_1\parallel\vec n_2 \]

Planos coincidentes

Toda la ecuación de uno es proporcional a la del otro.

\[ \pi_2=\lambda\pi_1 \]
Posiciones relativas de dos planos: secantes, paralelos y coincidentes
Esquema original de las posiciones relativas de dos planos.
02
Método de comparación

Cómo estudiar dos planos

\[ \pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \]
\[ \pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \]
\[ \vec n_1=(A_1,B_1,C_1), \qquad \vec n_2=(A_2,B_2,C_2) \]

Normales no proporcionales

Los planos son secantes y su intersección es una recta.

Normales proporcionales

Hay que comparar también \(D_1\) y \(D_2\) para distinguir paralelos y coincidentes.

03
Tres configuraciones

Ejemplos con dos planos

Ejemplo 1 · Secantes
\[ \pi_1:x+y+z-1=0, \qquad \pi_2:2x-y+z-3=0 \]
\[ \vec n_1=(1,1,1), \qquad \vec n_2=(2,-1,1) \]

Los vectores normales no son proporcionales.

\[ \boxed{\pi_1\text{ y }\pi_2\text{ son secantes}} \]
Ejemplo 2 · Paralelos distintos
\[ \pi_1:x+y+z-1=0, \qquad \pi_2:2x+2y+2z+3=0 \]

Las normales son proporcionales, pero:

\[ 2\pi_1:2x+2y+2z-2=0 \]

no coincide con \(\pi_2\).

\[ \boxed{\pi_1\parallel\pi_2,\qquad \pi_1\neq\pi_2} \]
Ejemplo 3 · Coincidentes
\[ \pi_1:x-y+2z-4=0, \qquad \pi_2:2x-2y+4z-8=0 \]
\[ \pi_2=2\pi_1 \]
\[ \boxed{\pi_1=\pi_2} \]
04
Sistema de tres ecuaciones

Posiciones relativas de tres planos

\[ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,\\ A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0. \end{cases} \]

Matriz de coeficientes

\[ A= \begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1\\ A_2&B_2&C_2\\ A_3&B_3&C_3 \end{pmatrix} \]

Matriz ampliada

\[ A^*= \begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1&-D_1\\ A_2&B_2&C_2&-D_2\\ A_3&B_3&C_3&-D_3 \end{pmatrix} \]
05
Rouché-Frobenius

Clasificación mediante rangos

Un único punto común

\[ \operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3 \]

El sistema tiene una solución única.

Una recta común

\[ \operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 \]

El sistema tiene infinitas soluciones con un parámetro.

Los tres planos coinciden

\[ \operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 1 \]

Las tres ecuaciones representan el mismo plano.

Sin punto común a los tres

\[ \operatorname{rg}(A) < \operatorname{rg}(A^*) \]

El sistema es incompatible, aunque pueden existir varias configuraciones geométricas distintas.

06
Representaciones originales

Interpretación visual de tres planos

Tres planos con un único punto común
\(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3\): un único punto común.
Tres planos con una recta común
\(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2\): una recta común.
Tres planos coincidentes
\(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=1\): los tres planos coinciden.
Configuraciones incompatibles de tres planos
\(\operatorname{rg}(A)<\operatorname{rg}(A^*)\): no existe un punto común a los tres planos.
07
Aplicación de los rangos

Ejemplos con tres planos

Ejemplo 4 · Un punto común
\[ \begin{cases} x+y+z=1,\\ x-y+z=3,\\ 2x+y-z=0. \end{cases} \]
\[ |A|= \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&1\\ 2&1&-1 \end{vmatrix} = 6\neq0 \]
\[ \boxed{\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3} \]

Los tres planos se cortan en un único punto.

Ejemplo 5 · Una recta común
\[ \begin{cases} x+y+z=1,\\ 2x+2y+2z=2,\\ x-y+z=0. \end{cases} \]

El segundo plano coincide con el primero y el tercero lo corta.

\[ \boxed{\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2} \]

Los tres planos tienen una recta común.

Ejemplo 6 · Sistema incompatible
\[ \begin{cases} x+y+z=1,\\ x+y+z=2,\\ x-y+z=0. \end{cases} \]

Los dos primeros planos son paralelos distintos.

\[ \boxed{\operatorname{rg}(A)<\operatorname{rg}(A^*)} \]

No existe ningún punto común a los tres planos.

08
Biblioteca PAU

Practica planos y parámetros

Práctica recomendada:

En la biblioteca puedes localizar problemas de planos paralelos, perpendiculares, intersecciones y discusión mediante rangos.

Abrir la biblioteca PAU de Geometría →
Qué debes recordar

Los rangos describen el conjunto común a los tres planos

Rango común 3 significa un punto; rango común 2, una recta; rango común 1, el mismo plano. Rangos distintos significan que no existe un punto común a los tres.

Dos planosCompara sus normales.
Rango 3Un punto común.
Rango 2Una recta común.
Rango 1Los tres planos coinciden.

Errores frecuentes

Mirar solo los vectores normalesSi son proporcionales, hay que comparar también los términos independientes.
Decir «pueden coincidir» cuando el rango común es 1Con ecuaciones válidas de planos, los tres planos son coincidentes.
Asignar una única figura al sistema incompatibleLa incompatibilidad incluye varias configuraciones sin punto común a los tres.

Resumen del tema

Dos planos se estudian comparando sus normales y sus ecuaciones completas. Tres planos se interpretan mediante los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada.

Debes saber

  • Comparar vectores normales.
  • Distinguir paralelos y coincidentes.
  • Construir \(A\) y \(A^*\).
  • Interpretar los rangos.
  • Reconocer casos incompatibles.
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