Posiciones relativas de rectas
Aprende a clasificar dos rectas en el espacio: se cortan en un punto, son coincidentes, son paralelas o se cruzan en distintos planos.
Idea básica
En el espacio, dos rectas tienen más posibilidades que en el plano. Además de ser secantes o paralelas, pueden coincidir o cruzarse sin llegar a cortarse porque están situadas en planos distintos.
Cómo distinguir las posiciones relativas de dos rectas
Antes de estudiar cada caso por separado, observa este esquema. Resume de un vistazo el método completo para decidir si dos rectas son coincidentes, paralelas, secantes o se cruzan.
Tipos de posiciones relativas
1. Se cortan en un punto
Las rectas tienen un único punto común. Sus vectores directores no son proporcionales y, al igualar sus ecuaciones, el sistema tiene solución única.
2. Coincidentes
Son la misma recta. Tienen vectores directores proporcionales y comparten todos sus puntos.
3. Paralelas
Tienen la misma dirección, pero no comparten ningún punto. Sus vectores directores son proporcionales, pero no son la misma recta.
4. Se cruzan
No son paralelas y no se cortan. Están en distintos planos y no tienen ningún punto común.
Método para estudiar dos rectas
1. Comparar vectores directores
Sean dos rectas con vectores directores:
\[ \vec{v}_r=(a_1,b_1,c_1), \qquad \vec{v}_s=(a_2,b_2,c_2) \]
- Si \(\vec{v}_r\) y \(\vec{v}_s\) son proporcionales, las rectas pueden ser coincidentes o paralelas.
- Si \(\vec{v}_r\) y \(\vec{v}_s\) no son proporcionales, las rectas pueden cortarse en un punto o cruzarse.
2. Igualar las ecuaciones paramétricas
Después igualamos las coordenadas de ambas rectas para comprobar si tienen puntos comunes.
- Si el sistema tiene una única solución: se cortan en un punto.
- Si el sistema tiene infinitas soluciones: son coincidentes.
- Si no tiene solución y los vectores son proporcionales: son paralelas.
- Si no tiene solución y los vectores no son proporcionales: se cruzan.
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Qué debes recordar
Ejemplo 1: rectas que se cortan en un punto
\[ r: \begin{cases} x=1+t\\ y=2+t\\ z=t \end{cases} \qquad s: \begin{cases} x=2-\lambda\\ y=3\\ z=1+\lambda \end{cases} \]
Vectores directores
\[ \vec{v}_r=(1,1,1), \qquad \vec{v}_s=(-1,0,1) \]
No son proporcionales, por tanto pueden cortarse o cruzarse.
Igualamos coordenadas
\[ \begin{cases} 1+t=2-\lambda\\ 2+t=3\\ t=1+\lambda \end{cases} \]
De la segunda ecuación:
\[ t=1 \]
Sustituyendo en la tercera:
\[ 1=1+\lambda \Rightarrow \lambda=0 \]
Comprobamos en la primera:
\[ 1+1=2-0 \]
Se cumple, por tanto las rectas se cortan en un punto.
El punto de corte se obtiene sustituyendo \(t=1\) en \(r\):
\[ P(2,3,1) \]
Ejemplo 2: rectas coincidentes
\[ r: \begin{cases} x=1+t\\ y=2+t\\ z=3+t \end{cases} \qquad s: \begin{cases} x=2+\lambda\\ y=3+\lambda\\ z=4+\lambda \end{cases} \]
Vectores directores
\[ \vec{v}_r=(1,1,1), \qquad \vec{v}_s=(1,1,1) \]
Son proporcionales. Ahora comprobamos si comparten algún punto.
El punto \(S(2,3,4)\) pertenece a \(s\). Comprobamos si pertenece a \(r\):
\[ 2=1+t \Rightarrow t=1 \]
\[ 3=2+t \Rightarrow t=1 \]
\[ 4=3+t \Rightarrow t=1 \]
El mismo valor de \(t\) sirve para las tres coordenadas, por tanto \(S\) pertenece a \(r\).
Como tienen vectores directores proporcionales y comparten un punto, las rectas son coincidentes.
Ejemplo 3: rectas paralelas
\[ r: \begin{cases} x=t\\ y=1+t\\ z=2+t \end{cases} \qquad s: \begin{cases} x=1+\lambda\\ y=3+\lambda\\ z=5+\lambda \end{cases} \]
Vectores directores
\[ \vec{v}_r=(1,1,1), \qquad \vec{v}_s=(1,1,1) \]
Son proporcionales, así que pueden ser coincidentes o paralelas.
Tomamos un punto de \(s\), por ejemplo \(S(1,3,5)\), y comprobamos si pertenece a \(r\):
\[ 1=t \Rightarrow t=1 \]
\[ 3=1+t \Rightarrow t=2 \]
Los valores de \(t\) no coinciden, por tanto el punto no pertenece a \(r\).
Como tienen la misma dirección pero no comparten puntos, las rectas son paralelas.
Ejemplo 4: rectas que se cruzan
\[ r: \begin{cases} x=1+t\\ y=2\\ z=t \end{cases} \qquad s: \begin{cases} x=0\\ y=1+\lambda\\ z=1 \end{cases} \]
Vectores directores
\[ \vec{v}_r=(1,0,1), \qquad \vec{v}_s=(0,1,0) \]
No son proporcionales, por tanto pueden cortarse o cruzarse.
Igualamos coordenadas
\[ \begin{cases} 1+t=0\\ 2=1+\lambda\\ t=1 \end{cases} \]
De la primera ecuación:
\[ t=-1 \]
De la tercera ecuación:
\[ t=1 \]
Contradicción. El sistema no tiene solución.
Como no son paralelas y no tienen punto común, las rectas se cruzan. Esto significa que están en distintos planos.
Ejemplos con rectas en forma implícita usando rangos
Cuando las rectas vienen dadas como intersección de dos planos, podemos estudiar su posición relativa usando rangos y, cuando haga falta, sus vectores directores.
Una recta en forma implícita suele venir dada así:
\[ r: \begin{cases} \pi_1\\ \pi_2 \end{cases} \]
Es decir, como intersección de dos planos.
Método con rangos
1. Rectas que se cortan en un punto
Sean las rectas:
\[ r: \begin{cases} x=0\\ y=0 \end{cases} \qquad s: \begin{cases} y=0\\ z=0 \end{cases} \]
Formamos el sistema conjunto:
\[ \begin{cases} x=0\\ y=0\\ y=0\\ z=0 \end{cases} \]
La matriz de coeficientes y la ampliada son:
\[ A= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \qquad A^*= \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0 \end{pmatrix} \]
Tomamos el menor:
\[ \begin{vmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{vmatrix}=1\neq 0 \]
Por tanto:
\[ rg(A)=3 \]
Como no aparece ninguna contradicción en la matriz ampliada:
\[ rg(A)=rg(A^*)=3 \]
El sistema tiene solución única. Luego las rectas se cortan en un punto.
El punto de corte es:
\[ P(0,0,0) \]
2. Rectas coincidentes
Sean las rectas:
\[ r: \begin{cases} x=0\\ y=0 \end{cases} \qquad s: \begin{cases} 2x=0\\ y=0 \end{cases} \]
Formamos el sistema conjunto:
\[ \begin{cases} x=0\\ y=0\\ 2x=0\\ y=0 \end{cases} \]
La matriz de coeficientes es:
\[ A= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 2&0&0\\ 0&1&0 \end{pmatrix} \]
Observamos que solo hay dos filas independientes:
\[ rg(A)=2 \]
La matriz ampliada no añade ninguna condición nueva, porque todos los términos independientes son 0:
\[ rg(A^*)=2 \]
Por tanto:
\[ rg(A)=rg(A^*)=2 \]
El sistema tiene infinitas soluciones dependientes de un parámetro. Como ambas rectas tienen los mismos puntos, son coincidentes.
3. Rectas paralelas
Sean las rectas:
\[ r: \begin{cases} x=0\\ y=0 \end{cases} \qquad s: \begin{cases} x=1\\ y=0 \end{cases} \]
La recta \(r\) es el eje \(z\), y la recta \(s\) tiene la misma dirección pero desplazada.
Formamos el sistema conjunto:
\[ \begin{cases} x=0\\ y=0\\ x=1\\ y=0 \end{cases} \]
En la matriz ampliada aparece una contradicción:
\[ x=0 \qquad \text{y} \qquad x=1 \]
Por tanto:
\[ rg(A) < rg(A^*) \]
El sistema no tiene solución, así que las rectas no se cortan.
Ahora estudiamos sus vectores directores. La recta \(r\) viene dada por los planos \(x=0\) e \(y=0\), cuyos vectores normales son:
\[ \vec{n}_1=(1,0,0),\qquad \vec{n}_2=(0,1,0) \]
Su vector director es:
\[ \vec{v}_r=\vec{n}_1\times \vec{n}_2=(0,0,1) \]
La recta \(s\) tiene los mismos planos directores, salvo que está desplazada, por lo que:
\[ \vec{v}_s=(0,0,1) \]
Como los vectores directores son proporcionales y las rectas no tienen puntos comunes, son paralelas.
4. Rectas que se cruzan
Sean las rectas:
\[ r: \begin{cases} x=0\\ y=0 \end{cases} \qquad s: \begin{cases} x=1\\ z=0 \end{cases} \]
Formamos el sistema conjunto:
\[ \begin{cases} x=0\\ y=0\\ x=1\\ z=0 \end{cases} \]
De nuevo aparece una contradicción:
\[ x=0 \qquad \text{y} \qquad x=1 \]
Por tanto:
\[ rg(A) < rg(A^*) \]
El sistema no tiene solución, luego las rectas no se cortan.
Ahora calculamos sus vectores directores.
Para \(r\):
\[ \vec{n}_1=(1,0,0),\qquad \vec{n}_2=(0,1,0) \]
\[ \vec{v}_r=\vec{n}_1\times \vec{n}_2=(0,0,1) \]
Para \(s\):
\[ x=1,\qquad z=0 \]
Los vectores normales de esos planos son:
\[ \vec{m}_1=(1,0,0),\qquad \vec{m}_2=(0,0,1) \]
Por tanto:
\[ \vec{v}_s=\vec{m}_1\times \vec{m}_2=(0,-1,0) \]
Los vectores directores:
\[ \vec{v}_r=(0,0,1),\qquad \vec{v}_s=(0,-1,0) \]
no son proporcionales.
Como las rectas no tienen ningún punto común y sus vectores directores no son proporcionales, las rectas se cruzan. Es decir, están en distintos planos.
Resumen del método con rangos
- \(rg(A)=rg(A^*)=3\): las rectas se cortan en un punto.
- \(rg(A)=rg(A^*)=2\): las rectas son coincidentes.
- \(rg(A) < rg(A^*)\) y vectores directores proporcionales: rectas paralelas.
- \(rg(A) < rg(A^*)\) y vectores directores no proporcionales: rectas que se cruzan.
Cómo estudiar este tema
Sigue siempre el mismo orden: compara vectores directores y después comprueba si existe algún punto común. Así evitarás confundir rectas paralelas con coincidentes, o rectas secantes con rectas que se cruzan.
Resumen final
- Si los vectores directores son proporcionales, las rectas pueden ser coincidentes o paralelas.
- Si los vectores directores no son proporcionales, las rectas pueden cortarse en un punto o cruzarse.
- Si comparten un único punto, se cortan en un punto.
- Si comparten todos sus puntos, son coincidentes.
- Si tienen la misma dirección y no comparten puntos, son paralelas.
- Si no tienen la misma dirección y no comparten puntos, se cruzan en distintos planos.