E3 – Recta paralela y plano que contiene una recta
Castilla y León · 2020 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dados el punto \(P=(2,1,1)\) y la recta:
\[
r\equiv\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-4}{-3},
\]
- Halle la recta paralela a \(r\) que pase por \(P\). (0,8 puntos)
- Halle la ecuación del plano que pasa por \(P\) y contiene a la recta \(r\). (1,2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
De la ecuación continua de \(r\) se leen un punto, \(Q=(2,3,4)\), y un vector director, \(\vec v=(1,-1,-3)\).
La recta del apartado a) debe conservar ese vector director.
El plano del apartado b) contiene el vector \(\vec v\) y el vector que une \(P\) con un punto de \(r\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Ecuaciones de una recta en el espacio.
- Rectas paralelas.
- Plano determinado por un punto y dos vectores.
- Producto vectorial.
Un vector normal al plano es perpendicular a dos vectores independientes contenidos en él.
🟢 Estrategia de resolución
Para el apartado a), escribimos la recta que pasa por \(P\) con el mismo vector director de \(r\).
Para el apartado b), tomamos \(Q=(2,3,4)\in r\), calculamos \(\overrightarrow{PQ}\) y obtenemos una normal mediante un producto vectorial.
Terminamos usando la ecuación punto-normal del plano.
🟣 Resolución paso a paso
La recta dada pasa por:
\[
Q=(2,3,4)
\]
y tiene vector director:
\[
\vec v=(1,-1,-3).
\]
a) Recta paralela por \(P\)
Una recta paralela debe tener un vector director proporcional a \(\vec v\). Usamos el mismo vector:
\[
\boxed{s:(x,y,z)=(2,1,1)+t(1,-1,-3),\qquad t\in\mathbb R.}
\]
En ecuaciones paramétricas:
\[
\boxed{
\begin{cases}
x=2+t,\\
y=1-t,\\
z=1-3t.
\end{cases}}
\]
b) Plano que pasa por \(P\) y contiene a \(r\)
El plano debe contener \(\vec v\) y el vector:
\[
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(2,3,4)-(2,1,1)=(0,2,3).
\]
Calculamos un vector normal mediante el producto vectorial:
\[
\vec n=\vec v\times\overrightarrow{PQ}
=
\begin{vmatrix}
\vec i&\vec j&\vec k\\
1&-1&-3\\
0&2&3
\end{vmatrix}
=(3,-3,2).
\]
La ecuación del plano que pasa por \(P=(2,1,1)\) es:
\[
3(x-2)-3(y-1)+2(z-1)=0.
\]
Simplificando:
\[
\boxed{\pi:3x-3y+2z-5=0.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Las rectas paralelas tienen vectores directores proporcionales.
- Una recta aporta al plano un punto y un vector director.
- El producto vectorial permite hallar una normal al plano.
- La ecuación final debe verificarse con el punto exterior y con la recta dada.