E4 – Recta paralela y punto simétrico respecto de un plano
Castilla y León · 2020 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Encuentre la ecuación de la recta que pasa por \((1,2,3)\) y es paralela a la recta:
\[
r\equiv
\begin{cases}
x-y-z-1=0,\\
x+y+z-3=0.
\end{cases}
\]
(1 punto) - Calcule el punto simétrico de \((1,2,3)\) respecto del plano \(\pi\equiv3x+2y+z+4=0\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
La recta \(r\) está dada como intersección de dos planos. Su vector director debe ser perpendicular a las dos normales.
Para hallar el simétrico de un punto respecto de un plano, primero encontramos la proyección ortogonal del punto sobre el plano.
Esa proyección será el punto medio entre el punto original y su simétrico.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Recta como intersección de planos.
- Producto vectorial de normales.
- Recta perpendicular a un plano.
- Proyección ortogonal y simetría.
El vector normal de un plano es director de cualquier recta perpendicular a él.
🟢 Estrategia de resolución
En el apartado a), calculamos el producto vectorial de las normales de los dos planos y usamos el punto dado.
En el apartado b), trazamos la recta perpendicular a \(\pi\) por el punto, calculamos el punto de corte \(H\) y usamos \(H=(P+P')/2\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Recta paralela
Las normales de los planos que definen \(r\) son:
\[
\vec n_1=(1,-1,-1),
\qquad
\vec n_2=(1,1,1).
\]
Un vector director de \(r\) es su producto vectorial:
\[
\vec v=\vec n_1\times\vec n_2
=(0,-2,2).
\]
Podemos simplificarlo y tomar \(\vec v=(0,-1,1)\). La recta pedida pasa por \(P=(1,2,3)\):
\[
\boxed{s:(x,y,z)=(1,2,3)+t(0,-1,1),\qquad t\in\mathbb R.}
\]
Es decir:
\[
\boxed{
\begin{cases}
x=1,\\
y=2-t,\\
z=3+t.
\end{cases}}
\]
b) Punto simétrico respecto de \(\pi\)
El vector normal del plano es \(\vec n=(3,2,1)\). La recta perpendicular a \(\pi\) que pasa por \(P=(1,2,3)\) es:
\[
\begin{cases}
x=1+3t,\\
y=2+2t,\\
z=3+t.
\end{cases}
\]
Para encontrar su corte con el plano, sustituimos:
\[
3(1+3t)+2(2+2t)+(3+t)+4=0.
\]
\[
14+14t=0
\Rightarrow
t=-1.
\]
El pie de la perpendicular es:
\[
H=(1-3,2-2,3-1)=(-2,0,2).
\]
Si \(P'\) es el punto simétrico, \(H\) es el punto medio de \(P\) y \(P'\):
\[
P'=2H-P
=2(-2,0,2)-(1,2,3)
=(-5,-2,1).
\]
Respuesta:
\[
\boxed{P'=(-5,-2,1).}
\]
Qué debes aprender de este problema
- El producto vectorial de las normales da la dirección de la recta intersección.
- Una recta perpendicular a un plano usa como director su vector normal.
- La proyección ortogonal pertenece simultáneamente a la recta y al plano.
- La proyección es el punto medio entre un punto y su simétrico.